诺伊曼边界条件

在数学中，诺伊曼边界条件也被称为常微分方程或偏微分方程的“第二类边界条件”。诺伊曼边界条件指定了微分方程的解在边界处的微分。

在常微分方程情况下，如

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1$

在区间 $[0,1]$ ，诺伊曼边界条件有如下形式：

y'(0) = α 1

y'(1) = α 2

其中 $α 1$ 和 $α 2$ 是给定的数值。

一个区域 $\Omega\subset R^n,$ 上的偏微分方程，如

Δ y + y = 0

( $Δ$ 表示拉普拉斯算子，诺伊曼边界条件有如下的形式

$\frac{\partial y}{\partial \nu}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega.$

这里， $ν$ 表示边界 $\partial\Omega$ 处(向外的)法向； $f$ 是给定的函数。法向定义为

$\frac{\partial y}{\partial \nu}(x)=\nabla y(x)\cdot \nu (x)$

其中∇是梯度，圆点表示内积。

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