线性生成空间

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数学分支线性代数之中,向量空间中一个向量线性生成空间linear span,也称为线性包 linear hull),是所有包含这个集合的线性子空间,从而一个向量集的线性生成空间也是一个向量空间。

定义[编辑]

给定 K 上的向量空间 V集合 S(不必有限)的生成空间定义为所有包含 S 的线性子空间 V 的交集 W,称 W 为由 S(或 S 中的向量)生成的子空间。

如果 S = \{v_1,...,v_r\}\,V有限子集,则生成空间为

{ \rm span } \left(S\right) = { \rm span } \left(v_1,...,v_r\right) = \left\{ {\lambda _1 v_1  +  \cdots  + \lambda _r v_r \mid \lambda _1 , \ldots ,\lambda _r  \in \mathbf{K}} \right\}.

注释[编辑]

S 的生成空间也可定义为 S 中元素的所有有限线性组合组成的集合。因为容易验证:S 中向量的有限线性组合的集合是包含 S 的一个向量空间,反之任何包含 S 的向量空间必然都包含 S 中向量空间的有限组合,故两个定义是等价的。

如果 S 的生成空间是 V,则 S 称为 V生成集合spanning set)。V 的一个生成集合不必是 V 的一组,因其不必是线性无关的。但是,对给定向量空间的极小生成集合一定是一组基。换句话说,V 的生成集合是一组基当且仅当 V 的任何向量可以惟一的写成生成集合中一些元素的线性组合。

如果 V 是无限维向量空间,S 是无穷集合,则 S 中的无限个向量的线性组合(如果收敛的话)不一定属于 S 的生成空间。

例子[编辑]

  • 向量空间 R3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一个生成集合,这个生成集合事实上是一组。这个空间的另一组生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一组基,因为它们不是线性无关的。
  • 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合;它的生成空间是 R3 中最后一个分量为零的向量组成的空间。
  • V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 },则 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一个生成集合,也是一组基。

定理[编辑]

定理 1:向量空间 V 的非空集合 S 生成的子空间是 S 中向量的所有有限线性组合;

注释中所说,这个定理如此熟知,以至有时也作为一个集合的生成空间的定义。

定理 2:设 V 是一个有限维向量空间,则 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量(如果必要的话)可以简化为 V 的一组基。

V 任意一组基(有限集),将这组基表示为 S 中一些向量的有限组合,只用到 S 中有限个向量,这有限个向量的生成集合包含这组基,从而包含 V,故第一步可将 S 简化为有限集;如果 S 中向量不是线性无关的,则至少有一个向量能写成其他向量的组合,去掉这个向量剩下的也能生成 V。继续这个步骤直到剩下的向量集合线性无关,这便简化为一组基了。
这也说明当 V 是有限维时,一组基是极小生成集合。

性质[编辑]

  • 假设 v_1, \ldots, v_n 是向量空间 Vn 个向量,那么
 {\rm span}(v_1, \ldots, v_{n-1}) = {\rm span} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_n \in {\rm span}(v_1, \ldots, v_{n-1}).
  • n 个向量生成空间的维数不大于 n,等于 n 当且仅当这些向量线性无关。
  • 假设 SS' 是向量空间 V 中两个集合,则有:
    • S\subset S'\Rightarrow {\rm span}(S)\subset {\rm span}(S') ;
    • {\rm span}(S\cup S')={\rm span}(S)+{\rm span}(S') .

参考文献[编辑]


线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间