线性近似

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在 (a, f(a)) 处的切线

数学中,线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数

例如,有一个实数变量的可导函数 f,根据 n=1 的泰勒公式

 f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2

其中 R_2 是余数。舍去余数就是线性近似:

 f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)

x 逼近 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线,因此这个过程也叫作切线近似

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似,这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如,一个有实数变量的可导函数 f(x, y),可以用函数 f(x, y) 在接近 (a, b)(x, y) 点处的值来近似

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

方程右侧是 z=f(x, y) 在点 (a, b). 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上,

 f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)

其中 Df(a) 是函数 fa 处的 Fréchet 导数

例子[编辑]

可以通过下面的过程求得 \sqrt[3]{25} 的值。

  1. 设函数  f(x)= x^{1/3}.\, ,问题简化为求 f(25) 的值。
  2. 可以得到
     f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.
  3. 根据线性近似
     f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.
  4. 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924…