线性近似

在 (a, f(a)) 处的切线

在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式

$f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2$

其中 $R_2$ 是余数。舍去余数就是线性近似：

$f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)$

当 x 逼近 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数 $f(x, y)$，可以用函数 $f(x, y)$ 在接近 $(a, b)$ 的 $(x, y)$ 点处的值来近似

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

方程右侧是 $z=f(x, y)$ 在点 $(a, b).$ 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上，

$f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)$

其中 $Df(a)$ 是函数 $f$ 在 $a$ 处的 Fréchet 导数。

例子

可以通过下面的过程求得 $\sqrt[3]{25}$ 的值。

1. 设函数 $f(x)= x^{1/3}.\,$ ，问题简化为求 $f(25)$ 的值。
2. 可以得到

   $f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.$

3. 根据线性近似

   $f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.$

4. 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924…