绝对伽罗瓦群

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数学中,一个 K绝对伽罗瓦群 GK ,是 KsepK 上的 伽罗瓦群。其中,KsepK可分闭包。当 K完美域,即 K 的特征为0,或者 K 是一个 有限域 的时候,Ksep=Ka,即 K可分闭包 和它的 代数闭包 相等。这时候 GK 是所有 Ka/k 的自同构的群。绝对伽罗瓦群和所有伽罗瓦群一样,是 投射有限群

基本例子[编辑]

  • 复数域,或任何代数封闭的域,它的绝对伽罗瓦群是平凡群。
  • 实数域的绝对伽罗瓦群是由恒等变换和 复数共轭 变换构成的阶为2的群。假设恒等变换记为 \imath,复数共轭变换记为 \sigma,那 \mathbb{R}_K=Gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\imath,\sigma\}\cong C_2

未解决的问题[编辑]

  • 逆伽罗瓦问题。逆伽罗瓦问题尝试刻画 Gal(\mathbb{Q}^a/\mathbb{Q}) 的形态。但是直至目前(2010年),这个问题依然没有解决。