绝对连续

在数学中，绝对连续是一个光滑性质，比连续和一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。

函数的绝对连续

定义

设(X, d)为一个度量空间，并设I为实直线R上的区间。函数f : I → X在I上绝对连续，如果对于每一个正数$\varepsilon$，都存在一个正数$\delta$，使得当I的两两不交的子区间[x_k, y_k]的（有限或无限）序列满足

$\sum_{k} |y_k - x_k| < \delta$

时，就有：

$\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \varepsilon.$

所有从I到X的绝对连续函数的集合记为AC(I; X)。

一个进一步的推广是曲线f : I → X的空间AC^p(I; X)，使得：

$d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_{s}^{t} m(\tau) \, \mathrm{d} \tau$，对于所有的$[s, t] \subseteq I$

对于L^p空间L^p(I; R)中的某个m。

性质

• 两个绝对连续函数的和与差也是绝对连续的。如果两个函数是定义在一个有界的闭区间上，那么它们的乘积也是绝对连续的。

• 如果一个绝对连续的函数处处不为零，那么它的倒数也是绝对连续的。

• 每一个绝对连续的函数都是一致连续和连续的。每一个利普希茨连续的函数都是绝对连续的。

• 如果f : [a,b] → X是绝对连续的，那么它在[a,b]内是有界变差函数。

• 如果f : [a,b] → R是绝对连续的，那么它便具有卢津N性质。也就是说，对于任何$L \subseteq [a,b]$使得$\lambda(L)=0$，都有$\lambda(f(L))=0$，其中$\lambda$表示R上的勒贝格测度。

• 如果f : I → R是绝对连续的，那么f几乎处处具有导数，导数是勒贝格可积的，且其积分等于f的增量。

• f : I → R是绝对连续的，当且仅当它是连续和有界变差，且具有卢津N性质。

测度的绝对连续

如果μ和ν是相同测度空间上的测度，那么我们称μ关于ν绝对连续，如果对于每一个满足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0，记为“μ ≪ ν”。用符号来表示，就是：

$\mu \ll \nu \iff \left( \nu(A) = 0 \implies \mu (A) = 0 \right).$

测度的绝对连续是自反和传递的，但不是反对称的，因此它是一个预序关系，而不是偏序关系。如果μ ≪ ν且ν ≪ μ，那么测度μ和ν称为等价的。

如果μ是带号测度或复测度，那么我们称μ关于ν绝对连续，如果它的变差|μ|满足|μ| ≪ ν；等价地，如果每一个满足ν(A) = 0的集合A都是μ-零测集。

拉东-尼科迪姆定理说明，如果μ关于ν绝对连续，且ν是σ-有限测度的，那么μ便具有一个关于ν的密度，或“拉东-尼科迪姆导数”，这意味着存在一个ν-可测函数f，在[0, +∞)内取值，记为f = ^dμ⁄_dν，使得对于任何ν-可测集A，都有：

$\mu(A) = \int_A f \, \mathrm{d} \nu.$

在大部分应用中，如果我们只说n维欧几里得空间Rⁿ上的测度是绝对连续的，而不具体说明它是关于哪一个测度绝对连续的，那么通常就意味着是关于勒贝格测度绝对连续的。由于Rⁿ关于勒贝格测度是σ-有限的，因此Rⁿ上的绝对连续测度正好是具有密度的测度；特别地，绝对连续的概率测度正好是具有概率密度函数的测度。

两个绝对连续的概念之间的关系

实直线的波莱尔子集上的测度μ关于勒贝格测度绝对连续，当且仅当点函数

$F(x)=\mu((-\infty,x])$

是一个局部绝对连续的实函数。也就是说，一个函数是局部绝对连续的，当且仅当它的分布导数是一个测度，关于勒贝格测度绝对连续。

奇异测度

通过勒贝格分解定理，每一个测度都可以分解成一个绝对连续测度与一个奇异测度的和。关于非（绝对连续）的测度，参见奇异测度。

例子

以下的函数是处处连续的，但不是绝对连续的：

• 康托尔函数；
• 含有原点的有限区间内的函数

$f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}$；

• 无界区间内的函数ƒ(x) = x²。

参考文献

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
• Royden, H.L. Real Analysis. Collier Macmillan. 1968. ISBN 0-02-979410-2.