绝对连续

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在数学中,绝对连续是一个光滑性质,比连续一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。

函数的绝对连续[编辑]

定义[编辑]

设(X, d)为一个度量空间,并设I实直线R上的区间。函数f : IXI绝对连续,如果对于每一个正数\varepsilon,都存在一个正数\delta,使得当I两两不交的子区间[xk, yk]的(有限或无限)序列满足

\sum_{k} |y_k - x_k| < \delta

时,就有:

\sum_{k} d \left( f(y_k), f(x_k) \right) < \varepsilon.

所有从IX的绝对连续函数的集合记为AC(I; X)。

一个进一步的推广是曲线f : IX的空间ACp(I; X),使得:

d \left( f(s), f(t) \right) \leq \int_{s}^{t} m(\tau) \, \mathrm{d} \tau ,对于所有的 [s, t] \subseteq I

对于Lp空间Lp(I; R)中的某个m

性质[编辑]

  • 两个绝对连续函数的和与差也是绝对连续的。如果两个函数是定义在一个有界的闭区间上,那么它们的乘积也是绝对连续的。
  • 如果一个绝对连续的函数处处不为零,那么它的倒数也是绝对连续的。
  • 如果f : [a,b] → X是绝对连续的,那么它在[a,b]内是有界变差函数。
  • 如果f : [a,b] → R是绝对连续的,那么它便具有卢津N性质。也就是说,对于任何L \subseteq [a,b]使得\lambda(L)=0,都有\lambda(f(L))=0,其中\lambda表示R上的勒贝格测度
  • 如果f : IR是绝对连续的,那么f几乎处处具有导数,导数是勒贝格可积的,且其积分等于f的增量。
  • f : IR是绝对连续的,当且仅当它是连续和有界变差,且具有卢津N性质。

测度的绝对连续[编辑]

如果μν是相同测度空间上的测度,那么我们称μ关于ν绝对连续,如果对于每一个满足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0,记为“μ ≪ ν”。用符号来表示,就是:

\mu \ll \nu \iff \left( \nu(A) = 0 \implies \mu (A) = 0 \right).

测度的绝对连续是自反传递的,但不是反对称的,因此它是一个预序关系,而不是偏序关系。如果μ ≪ νν ≪ μ,那么测度μν称为等价的。

如果μ带号测度复测度,那么我们称μ关于ν绝对连续,如果它的变差|μ|满足|μ| ≪ ν;等价地,如果每一个满足ν(A) = 0的集合A都是μ-零测集

拉东-尼科迪姆定理说明,如果μ关于ν绝对连续,且νσ-有限测度的,那么μ便具有一个关于ν的密度,或“拉东-尼科迪姆导数”,这意味着存在一个ν-可测函数f,在[0, +∞)内取值,记为f = dμdν,使得对于任何ν-可测集A,都有:

\mu(A) = \int_A f \, \mathrm{d} \nu.

在大部分应用中,如果我们只说n欧几里得空间Rn上的测度是绝对连续的,而不具体说明它是关于哪一个测度绝对连续的,那么通常就意味着是关于勒贝格测度绝对连续的。由于Rn关于勒贝格测度是σ-有限的,因此Rn上的绝对连续测度正好是具有密度的测度;特别地,绝对连续的概率测度正好是具有概率密度函数的测度。

两个绝对连续的概念之间的关系[编辑]

实直线的波莱尔子集上的测度μ关于勒贝格测度绝对连续,当且仅当点函数

F(x)=\mu((-\infty,x])

是一个局部绝对连续的实函数。也就是说,一个函数是局部绝对连续的,当且仅当它的分布导数是一个测度,关于勒贝格测度绝对连续。

奇异测度[编辑]

通过勒贝格分解定理,每一个测度都可以分解成一个绝对连续测度与一个奇异测度的和。关于非(绝对连续)的测度,参见奇异测度

例子[编辑]

以下的函数是处处连续的,但不是绝对连续的:

f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if }x =0 \\ x \sin(1/x), & \mbox{if } x \neq 0 \end{cases}
  • 无界区间内的函数ƒ(x) = x2

参考文献[编辑]

  • Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. 2005. ISBN 3-7643-2428-7. 
  • Royden, H.L. Real Analysis. Collier Macmillan. 1968. ISBN 0-02-979410-2.