绝热指数

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絕熱指數英语adiabatic index)是指等壓熱容C_P)和等容(等體積)熱容(C_V)的比值,也稱為熱容比英语heat capacity ratio)或絕熱膨脹係數英语isentropic expansion factor),常用符號\gamma\kappa表示。後者常在化學工程領域中使用,在機械工程領域中,會使用字母k表示絕熱指數[1]

 \gamma = \frac{C_P}{C_v} = \frac{c_P}{c_v}

其中,C是氣體的熱容,c是氣體比熱容,而下標Pv分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。

絕熱指數也可表示為以下的形式

 \gamma = \frac{C_{P,m}}{C_{v,m}}

其中,C_{P,m}是氣體的等壓莫耳熱容,也就是一莫耳氣體的等壓熱容,C_{v,m}是氣體的等容莫耳熱容。

絕熱指數也是理想氣體等熵過程準靜態可逆絕熱過程)下的多方指數,即以下體積和壓強關係式中體積的次方:

 pV^\gamma = \text{常數}

其中 p 是壓強而 V 是體積。

理想氣體的绝热指數[编辑]

理想氣體的熱容不隨溫度變化。內能分別為H = C_p TU = C_V T。因此绝热指數也可以視為是內能的比值:

 \gamma = \frac{H}{U}

理想氣體的定溫莫耳熱容及定容莫耳熱容及氣體常數R)之間有以下的關係

 C_{p,m} - C_{V,m} = R \!

因此莫耳熱容也可以用绝热指數(\gamma)及氣體常數表示:

 C_{p,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} \qquad \mbox{,} \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}

和自由度的關係[编辑]

理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容( C_{V,m} )、等壓摩爾熱容( C_{p,m} )及绝热指数 \kappa 之間的關係
 C_{V,m}  C_{p,m}  \kappa=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}
單原子氣體  \frac{3}{2} \cdot R  \frac{5}{2} \cdot R  \frac{5}{3}=1{,}\overline{6}
雙原子氣體  \frac{5}{2} \cdot R  \frac{7}{2} \cdot R  \frac{7}{5}=1{,}4
三原子氣體  \frac{6}{2} \cdot R  \frac{8}{2} \cdot  R  \frac{4}{3}=1{,}\overline{3}

理想氣體的绝热指數(\gamma)和分子的自由度之間,有以下的關係:

 \gamma\ = \frac{f+2}{f}\qquad \mbox{, } \qquad f = \frac{2}{\gamma-1}

單原子氣體的自由度是3,因此绝热指數為:

 \gamma\ = \frac{5}{3} \approx 1.67,

雙原子氣體,在室溫下的自由度為5(平移自由度3,旋轉自由度2,室溫下不考慮振動自由度),因此绝热指數為:

 \gamma = \frac{7}{5} = 1.4.

空氣主要由雙原子氣體組成,包括約78%的氮氣(N2)及約21%的氧氣(O2),室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體,因此其绝热指數為:

\gamma = \frac{5 + 2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4.

以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。

熱力學的關係[编辑]

在一些特定的工程應用中(如計算氣體經過導管或閥的流速),C_p - C_v = n R(n為莫耳數)的關係不夠準確,因此定體積熱容C_v需要由實測求得,若依下式計算定體積熱容C_v,即得求得精確的绝热指數\frac{C_p}{C_v}

 C_p - C_v \ = \ -T \frac{{\left( {\frac{\part V}{\part T}} \right)_P^2 }} {\left(\frac{\part V}{\part P}\right)_T} \ = \ -T \frac{{ \left( {\frac{\part P}{\part T}} \right) }^2} {\frac{\part P}{\part V}}

其中C_p的數值可以由查表求得。

上述的定義可由來推導嚴謹的狀態方程式(例如Peng-Robinson狀態方程式),這些方程式所求得的值和實測值非常接近,因此定體積熱容或绝热指數可直接用方程式計算,不需查表。也可以利用有限差分法finite difference method)來計算其數值。

各種氣體的绝热指数[编辑]

各種氣體的绝热指数[2][3]
溫度 氣體 γ   溫度 氣體 γ   溫度 氣體 γ
−181°C H2 1.597 200°C 乾空氣 1.398 20°C NO 1.400
−76°C 1.453 400°C 1.393 20°C N2O 1.310
20°C 1.410 1000°C 1.365 −181°C N2 1.470
100°C 1.404 2000°C 1.088 15°C 1.404
400°C 1.387 0°C CO2 1.310 20°C Cl2 1.340
1000°C 1.358 20°C 1.300 −115°C CH4 1.410
2000°C 1.318 100°C 1.281 −74°C 1.350
20°C He 1.660 400°C 1.235 20°C 1.320
20°C H2O 1.330 1000°C 1.195 15°C NH3 1.310
100°C 1.324 20°C CO 1.400 19°C Ne 1.640
200°C 1.310 −181°C O2 1.450 19°C Xe 1.660
−180°C Ar 1.760 −76°C 1.415 19°C Kr 1.680
20°C 1.670 20°C 1.400 15°C SO2 1.290
0°C 濕空氣 1.403 100°C 1.399 360°C Hg 1.670
20°C 1.400 200°C 1.397 15°C C2H6 1.220
100°C 1.401 400°C 1.394 16°C C3H8 1.130

參照[编辑]

參考[编辑]

  1. ^ Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318. 
  2. ^ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
  3. ^ Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524