维纳滤波

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维纳滤波諾伯特·維納在二十世纪四十年代提出的一种滤波器,并在1949年出版[1].

描述[编辑]

与设计一个特定频率响应所用的通常滤波器设计理论不同,维纳滤波器从另外一个不同的角度实现滤波器。仅仅在频域进行滤波的滤波器,仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息,维纳滤波器具有以下一些特点[2]

  1. 假设:信号以及附加噪声都是已知频谱特性或者自相关互相关随机过程
  2. 性能标准:最小均方差
  3. 能够用标量的方法找到最优滤波器

维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照统计方式干扰信号的噪声

模型/问题的建立[编辑]

假设维纳滤波器的输入信号是s (t),叠加噪声n (t)。输出信号x (t)通过滤波器g (t)使用下面的卷积运算得到:

x (t) = g (t) *(s(t) + n (t))


其中

  • s (t)是需要估计的原始信号
  • n (t)是噪声
  • x (t)是估计出的信号(我们希望它能等同于s (t))
  • g (t)是维纳滤波器

误差是e (t) = s(t + d) - x (t),方差是e^2 (t) = s^2(t + d) - 2s(t + d)x (t) + x^2 (t)其中

  • s(t + d)是所期望的滤波器输出
  • e (t)是误差

根据d的不同,问题名称可以更换为:

x (t)写成卷积积分:x (t) = \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)\left[s(t - \tau) + n(t - \tau)\right]d\tau}.

计算平方误差的均值,可得

E(e^2) = R_s (0) - 2\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x\,s}(\tau + d)d\tau} + \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)g(\theta)R_x(\tau - \theta)d\tau}d\theta}

其中

如果信号s (t)和噪声n (t)是不相关的(例如,互相关是0)那么请注意

  • R_{x\,s} = R_s
  • \,\!R_x = R_s + R_n

这个的目的是求最优的g (t),使得E(e^2)最小。

稳态解(Stationary solution)[编辑]

维纳滤波对于因果系统非因果系统有两种不同解,如下:

非因果解(Anticausal solution)[编辑]

G (s) = \frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x (s)}

只要g (t)是最优的,那么均方误差mse简化为E(e^2) = R_s (0) - \int_{-\infty}^{\infty}{g(\tau)R_{x,s}(\tau + d)d\tau}

那么方程的解g (t)就是G (s)的双边拉普拉斯变换逆变换(inverse two-sided Laplace transform)。

因果解(Causal solution)[编辑]

G (s) = \frac{H (s)}{S_x^{+}(s)}

其中

  • H (s)\frac{S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_x^{-}(s)}的拉普拉斯逆变换positive time解
  • S_x^{+}(s)S_x (s)的拉普拉斯逆变换positive time解
  • S_x^{-}(s)S_x (s)的拉普拉斯逆变换negative time解

有限冲激响应维纳滤波离散系列[编辑]

的因果关系的有限冲激响应(FIR)维纳滤波器,而不是使用一些给定的数据矩阵X和输出矢量Y,发现最佳的抽头权重,通过使用输入和输出信号的统计信息。填充的输入的输入信号(T)的自相关的估计矩阵X和填充的输出之间的输出和输入信号(V)的互相关估计的向量Y。

为了获得维纳滤波系数,考虑信号w[n]被输入到一个N阶维纳滤波器,系数\scriptstyle \{a_i\}, \scriptstyle i \,=\, 0,\, \ldots,\, N,N的滤波器的输出被记作x[n],这是由下式给出

x[n] = \sum_{i=0}^N a_i w[n-i]

剩余误差来表示e[n]的,被定义为e[n] = x[n] − s[n](参见相应的块图)。维纳滤波器被设计成最小化均方误差(MMSE基准),它可以如下简而言之:

a_i = \arg \min ~E\{e^2[n]\}

\scriptstyle E\{\cdot\}表示期望算。在一般情况下,系数\scriptstyle a_i可能是复杂的,可能的情况下,可导出为其中w[n]的和s[n]的,以及是复杂的。具有复杂的信号,该矩阵是一个要解决的厄密共轭,而不是对称的Toeplitz矩阵的Toeplitz矩阵。为简单起见,下面只考虑所有这些量的情况下是真实的。的均方误差(MSE)可改写为:


\begin{array}{rcl}
E\{e^2[n]\} &=& E\{(x[n]-s[n])^2\}\\
&=& E\{x^2[n]\} + E\{s^2[n]\} - 2E\{x[n]s[n]\}\\
&=& E\{\big(\sum_{i=0}^N a_i w[n-i] \big)^2\} + E\{s^2[n]\} - 2E\{\sum_{i=0}^N a_i w[n-i]s[n]\} .
\end{array}

矢量\scriptstyle [a_0,\, \ldots,\, a_N]减少上面的表达式,计算出其衍生尊重\scriptstyle a_i


\begin{array}{rcl}
\frac{\partial}{\partial a_i} E\{e^2[n]\} &=& 2E\{ \big( \sum_{j=0}^N a_j w[n-j] \big) w[n-i] \} - 2E\{s[n]w[n-i]\} \quad i=0,\, \ldots,\, N\\
&=& 2 \sum_{j=0}^N E\{w[n-j]w[n-i]\} a_j - 2E\{ w[n-i]s[n]\} .
\end{array}

假设,瓦特〔N]和s[n]的每个固定和共同静止,序列\scriptstyle R_w[m]\scriptstyle R_{ws}[m]分别被称为瓦特〔N的自相关和交叉瓦特之间的相关性[n]的和s[n]的可被定义为如下:


\begin{align}
R_w[m] =& E\{w[n]w[n+m]\} \\
R_{ws}[m] =& E\{w[n]s[n+m]\} .
\end{align}

因此,可以改写为(\scriptstyle R_{ws}[-i] \,=\, R_{sw}[i]的通知的衍生物的MSE)

\frac{\partial}{\partial a_i} E\{e^2[n]\} = 2 \sum_{j=0}^{N} R_w[j-i] a_j - 2 R_{sw}[i] \quad i = 0,\, \ldots,\, N

让该衍生工具是平等的结果为零

\sum_{j=0}^N R_w[j-i] a_j = R_{sw}[i] \quad i = 0,\, \ldots,\, N

这可以被改写为矩阵形式的

\begin{align}
&\mathbf{T}\mathbf{a} = \mathbf{v}\\

\Rightarrow
&\begin{bmatrix}
R_w[0] & R_w[1] & \cdots & R_w[N] \\
R_w[1] & R_w[0] & \cdots & R_w[N-1] \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
R_w[N] & R_w[N-1] & \cdots & R_w[0]
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_N
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
R_{sw}[0] \\R_{sw}[1] \\ \vdots \\ R_{sw}[N]
\end{bmatrix}

\end{align}

在这些方程是公知的Wiener-Hopf方程的。出现在方程中的矩阵T是一个对称的Toeplitz矩阵。R上在适当条件下,这些矩阵被称为是正定的,因此非奇异维纳滤波器系数矢量的测定产生了独特的解决方案,\scriptstyle\mathbf{a} \,=\, \mathbf{T}^{-1}\mathbf{v}。此外,存在一个有效的算法来解决这些被称为列文森-Durbin算法的Wiener-Hopf方程的,这样一个明确的反转\scriptstyle\mathbf{T}是不需要的。

参见[编辑]

参考书目[编辑]

  • ^ [1]: Wiener, Norbert (1949), Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. New York: Wiley. ISBN 0-262-73005-7
  • ^ [2]: Brown, Robert Grover and Patrick Y.C. Hwang (1996) Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. 3 ed. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-12839-2