维纳-辛钦定理

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维纳-辛钦定理,又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出:宽平稳随机过程功率谱密度是其自相关函数傅立叶变换[1][2][3]

諾伯特·維納 在1930年首次发表了这个定理;[4] 辛钦 独立地[5] 发现定理的结果并且于1934年发表了它。[6] 阿尔伯特·爱因斯坦 也可能在1914年的一份简短的备忘录里预测了这个想法。[7]

对于连续随机过程x(t) \ ,其功率谱密度为


S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau} \ d\tau

其中,r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \ 是定义在数学期望意义上的自相关函数,  j 是虚数单位, S_{xx}(f) \ 是函数x(t)\,的功率谱密度。

注意到自相关函数的定义是乘积的数学期望,而x(t)\,的傅立叶变换不存在,因为平稳随机函数不满足平方可积

星号*表示复共轭,当随机过程是过程时可以将其省去。

对于离散随机过程x[n] \ ,其功率谱密度为

 S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi k f}

其中

r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \

S_{xx}(f) \

是离散函数x[n]\,的功率谱密度。由于x[n]\,采样得到的离散时间序列,其谱密度在频域上是周期函数

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing. Springer. 2003. ISBN 140207395X. 
  2. ^ Leon W. Couch II. Digital and Analog Communications Systems sixth ed. Prentice Hall, New Jersey. 2001: 406–409. 
  3. ^ Krzysztof Iniewski. Wireless Technologies: Circuits, Systems, and Devices. CRC Press. 2007. ISBN 0849379962. 
  4. ^ Wiener, Norbert. Generalized Harmonic Analysis. Acta Mathematica. 1930, 55: 117–258. 
  5. ^ Nahin, Paul J. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. 2011: 225. ISBN 9780691150376. 
  6. ^ Khintchine, A. Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse. Mathematische Annalen. 1934, 109 (1): 604–615. doi:10.1007/BF01449156. 
  7. ^ Jerison, David; Singer, Isadore Manuel; Stroock, Daniel W. The Legacy of Norbert Wiener: A Centennial Symposium (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics). American Mathematical Society. 1997: 95. ISBN 0-8218-0415-4.