维纳－辛钦定理

维纳-辛钦定理，又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。该定理指出：宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换。

对于连续随机过程$x(t) \$，其功率谱密度为

$S_{xx}(f)=\int_{-\infty}^\infty r_{xx}(\tau)e^{-j2\pi f\tau} \ d\tau$

其中，$r_{xx}(\tau) = \operatorname{E}\big[\, x(t)x^*(t-\tau) \, \big] \$ 是定义在数学期望意义上的自相关函数， $j$是虚数单位， $S_{xx}(f) \$ 是函数$x(t)\,$的功率谱密度。

注意到自相关函数的定义是乘积的数学期望，而$x(t)\,$的傅立叶变换不存在，因为平稳随机函数不满足平方可积。

星号*表示复共轭，当随机过程是实过程时可以将其省去。

对于离散随机过程$x[n] \$ ，其功率谱密度为

$S_{xx}(f)=\sum_{k=-\infty}^\infty r_{xx}[k]e^{-j2\pi k f}$

其中

$r_{xx}[k] = \operatorname{E}\big[ \, x[n] x^*[n-k] \, \big] \$

且

$S_{xx}(f) \$

是离散函数$x[n]\,$的功率谱密度。由于$x[n]\,$是采样得到的离散时间序列，其谱密度在频域上是周期函数。

参见

• 随机过程
• 傅立叶变换
• 谱密度