罗素悖论

维基百科，自由的百科全书

罗素悖论（Russell's paradox），也称为理发师悖论，是罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。

[编辑] “理发师悖论”悖论内容

一位理发师说：“我只给不给自己刮脸的人刮脸。”那么他是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸。于是矛盾出现了。

[编辑] 羅素悖論

我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：

罗素悖论：设性质 $P (x)$ 表示“ $x\not\in x$ ”，现假设由性质 $P$ 确定了一个类 $A$ ——也就是说“ $A=\{x|x \not\in x\}$ ”。那么现在的问题是： $A\in A$ 是否成立？首先，若 $A\in A$ ，则 $A$ 是 $A$ 的元素，那么 $A$ 具有性质 $P$ ，由性质 $P$ 知 $A\not\in A$ ；其次，若 $A\not\in A$ ，也就是说 $A$ 具有性质 $P$ ，而 $A$ 是由所有具有性质 $P$ 的类组成的，所以 $A\in A$ 。