罗素悖论

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罗素悖论(Russell's paradox),也称为理发师悖论,是罗素於1901年提出的悖论,一个关于的内涵问题。羅素悖論當時的提出,造成第三次數學危機

“理发师悖论”悖论内容[编辑]

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。于是产生矛盾。

羅素悖論[编辑]

我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有集合總可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论:

罗素悖论:设命题函数P(x)表示“x∉x”,现假设由性质P确定一个集合A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是:A∈A是否成立?首先,若A∈A,则A是A的元素,那么A不具有性质P,由命题函数P知A∉A;其次,若A∉A,也就是说A具有性质P,而A是由所有具有性质P的类组成的,所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论、书目悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价[编辑]

理发师悖论和罗素悖论是等价的:

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科,第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:若把所有第二類的書做個總目錄,它應不應該含有它自己的條目?

参考条目[编辑]