置换矩阵

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数学中的矩阵论裡,置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1,其余的系数都是0。在线性代数中,每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素(n维空间的)的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时,所得到的是原来矩阵的横行(置换矩阵在左)或纵列(置换矩阵在右)经过置换后得到的矩阵。

严格定义[编辑]

每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个n元置换:

\pi : \lbrace 1, \ldots, n \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, n \rbrace

给出其映射图:

\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(n) \end{pmatrix},

它对应的n × n的置换矩阵Pπ是:在第i横行只有π(i)位置上系数为1,其余为0。即可以写做:

P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(n)} \end{bmatrix},

其中每个\mathbf e_j表示正则基中的第j个,也就是一个左起第j个元素为1,其余都是0的n元横排数组。

由于单位矩阵

I = \begin{bmatrix} \mathbf e_1 \\ \mathbf e_2 \\ \vdots \\ \mathbf e_n\end{bmatrix}

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。

性质[编辑]

对两个n元置换π 和 σ的置换矩阵PπPσ,有

P_{\pi} P_{\sigma} = P_{\pi \circ \sigma}

一个置换矩阵Pπ 必然是正交矩阵(即满足P_{\pi}P_{\pi}^{T} = I),并且它的逆也是置换矩阵:

P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{T}

用置换矩阵P_{\pi}左乘一个列向量 g所得到的是 g 的系数经过置换后的向量:

P_\pi \mathbf{g} 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
\vdots \\
g_n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_{\pi(1)} \\
g_{\pi(2)} \\
\vdots \\
g_{\pi(n)}
\end{bmatrix}.

用置换矩阵P_{\pi}右乘一个行向量 h 所得到的是 h 的系数经过置换后的向量:

\mathbf{h}P_\pi
= 
\begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\vdots \\
\mathbf{e}_{\pi(n)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} h_{\pi(1)} \; h_{\pi(2)} \; \dots \; h_{\pi(n)} \end{bmatrix}

置换矩阵与置换[编辑]

Snn次对称群,由于n置换一共有n! 个,n阶的置换矩阵也有n! 个。这n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的。这个群的单位元就是单位矩阵。设A是所有n阶的置换矩阵的集合。映射Sn → A ⊂ GL(n, Z2)是一个群的忠实表示

对一个置换σ,其对应的置换矩阵Pσ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换,或者将单位矩阵的横行进行 σ−1 置换得到的矩阵。

置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合,并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点

置换矩阵Pσ迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 a1a2、……、ak 为其不动点的序号,则ea1ea2、……、eakPσ特征向量

由群论可以知道,每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知,置换矩阵Pσ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。Pσ行列式就等于 σ 的符号差

例子[编辑]

对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵Pπ

P_\pi 
= 
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{4} \\
\mathbf{e}_{2} \\
\mathbf{e}_{5} \\
\mathbf{e}_{3} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 
\end{bmatrix}.

给定一个向量 g

P_\pi \mathbf{g}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\
\mathbf{e}_{\pi(5)} 
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_2 \\
g_3 \\
g_4 \\
g_5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
g_1 \\
g_4 \\
g_2 \\
g_5 \\
g_3
\end{bmatrix}.

推广[编辑]

置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况:

一个m×n0-1矩阵 P 是置换矩阵当且仅当 P \cdot P^T = I_m

这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1,每一列至多有一个1。

置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数:

一个n阶的方块矩阵 P 是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。

这时的置换矩阵P可以看做由0和1组成的置换矩阵Q与一个对角矩阵相乘的结果。

参见[编辑]

参考来源[编辑]