羊角螺线

双头欧拉螺线

欧拉螺线（Euler spiral），多用作緩和曲线，缓和直路线与圆曲路线之间曲线变化的作用。

羊角螺线（clothoid）是形式为

x = C(t)

y = S(t)

的曲线，其中 C(t)、S(t) 为 Fresnel積分：

$S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

上面參數方程的參數 $t$ ，也是螺線於該點的曲率： $\kappa(t) = t$ 。

兩個螺線的中心位於 $\pm ( \sqrt{\pi} / 2 , \sqrt{\pi} / 2)$

在光學上，近場繞射（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。

性质[编辑]

$S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$

$C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)$ .

$\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.$

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