羊角螺线

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双头欧拉螺线
羊角螺线

欧拉螺线Euler spiral),多用作緩和曲线,缓和直路线与圆曲路线之间曲线变化的作用。

羊角螺线(clothoid)是形式为

x = C(t)
y = S(t)

曲线,其中 C(t)、S(t) 为 Fresnel積分

S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},
C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.

上面參數方程的參數t,也是螺線於該點的曲率\kappa(t) = t

兩個螺線的中心位於\pm ( \sqrt{\pi} / 2 , \sqrt{\pi} / 2)

Fresnel integrals.svg

光學上,近場繞射(Fresnel繞射)中會應用Fresnel積分。

性质[编辑]

  • 利用以上的幂级数展开式,可以把Fresnel积分扩展到复数范围,它是解析函数。Fresnel积分可以用误差函数来表示:
S(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right)
C(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \left( \sqrt{-i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{i}\,x) + \sqrt{i}\,\operatorname{erf}(\sqrt{-i}\,x) \right).
  • C(x)和S(x)所定义的积分不能表示为初等函数。当x趋于无穷大时,函数的值为:
\int_{0}^{\infty} \cos t^2\,dt = \int_{0}^{\infty} \sin t^2\,dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} = \sqrt{\frac{\pi}{8}}.

参见[编辑]