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群上同調

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同調代數中,群上同調是一套研究及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲,在代數數論上也有重要應用;它是現代類域論的基本構件之一。

起源[编辑]

群論中的指導思想之一,是研究群 G 及其表示的關係。群 G 的表示是 G-模的特例:一個 G-模是一個阿貝爾群 M 配上 GM 上的群作用 G \to \mathrm{End}(M)。等價的說法是:M群環 \Z[G] 上的模。通常將 G 的作用寫成乘法 m \mapsto gm。全體 G-模自然地構成一個阿貝爾範疇

對給定的 G-模 G,最重要的子群之一是其 G-不變子群

 M^{G} = \lbrace x \in M : \forall g \in G \  gx=x \rbrace.

N \subset M 是一個 G-子模(即:是 M 的子群,且在 G 的作用下不變),則 M/N 上賦有自然的 G-模結構,N^G \subset M^G,但是未必有 (M/N)^G = M^G/N^G。第一個群上同調群 H^1(G,N) 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言,可以定義一族函子 H^n(G,-),其間關係可以由長正合序列表示。

形式建構[编辑]

以下假設 G有限群,全體 G-模構成阿貝爾範疇,其間的態射 \mathrm{Hom}_G(M,N) 定義為滿足 f(gx)=gf(x) 的群同態 f: M \to N。由於此範疇等價於 \Z[G]-模範疇,故有充足的內射對象

函子 M \to M^G 是從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 H^n(G,M) 為其導函子。根據導函子的一般理論,可知:

  • H^0(G,M)=M^G
  • 長正合序列:若 0 \to M' \to M \to M'' \to 0G-模的短正合序列,則導出相應的長正合序列
\cdots \to H^{i-1}(G,M'') \to H^i(G,M') \to H^i(G,M) \to H^i(G,M'') \to H^{i+1}(M') \to H^{i+1}(M) \to \cdots

在上述定義中,若固定一個域 k,並以 k[G] 代替 \Z[G],得到的上同調群依然同構。

標準分解[编辑]

導出函子的定義來自內射分解,不便於具體計算。然而注意到 M^G = \mathrm{Hom}_G(\Z,M),其中 \Z 被賦予平凡的 G 作用:gx = x,故群上同調可以用Ext函子表達為

H^i(G,M) = \mathrm{Ext}^i(\Z,M)

另一方面,G-模範疇中也有充足的射影對象,若取一 \Z 的射影分解 0 \leftarrow \Z \leftarrow P_\bullet,則有自然的同構 \mathrm{Ext}^i(\Z,M) \simeq H^i(\mathrm{Hom}(P_\bullet,M))。最自然的分解是標準分解

L_i := \sum_{(g_0,\ldots,g_i) \in G} \Z (g_0,\ldots,g_i)
 g(g_0, \ldots, g_i) = (gg_0, \ldots, gg_i)
d(g_0, \ldots, g_i) = \sum_{j=0}^i (g_0, \ldots, \hat{g}_j, \ldots, g_i)

L_0 \to \Zg_0 \mapsto 1 給出。

定義 K^i := \mathrm{Hom}_G(L_i, M),其元素為形如 f: G^{i+1} \mapsto M 的函數,並滿足 f(gg_0, \ldots, gg_i) = gf(g_0, \ldots, g_i),稱之為齊次上鏈。根據 GL_i 上的作用,這種 f 由它在形如 (e, g_1, g_1 g_2, \ldots, g_1 \ldots, g_i) 的元素上的取值確定。藉此,可將上鏈複形 K^i 描述為

  • K^i 的元素為 G^i \to M 之函數。
  • (df)(g_1, \ldots, g_{i+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{i+1}) + \sum_{j=1}^i (-1)^j f(g_1, \ldots, g_j g_{j+1}, \ldots, g_{i+1}) + (-1)^{i+1} f(g_1, \ldots, g_i)

其中的元素稱為非齊次上鏈

綜上所述,得到 H^i(K^\bullet) = H^i(G, M)

例子[编辑]

較常用的上同調是 H^1H^2。從標準分解可導出以下的描述:

H^1(G, M) = \dfrac{\{ f: G \to M | \forall g, g', \;  f(gg') = gf(g') + f(g) \}}{\{f: G \to M : \exists m\, \forall g, \; f(g) = gm-m\}}

準此要領,亦有

H^2(G,M) = \dfrac{\{ f: G^2 \to M |  gf(g',g'')-f(gg',g'') + f(g,g'g'') - f(g,g')=0 \}}{\{ f: G^2 \to M : \exists h: G \to M, f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g) \}}

群同調[编辑]

上述理論有一對偶版本:對於任一 G-模 M,定義 DM 為形如 gm-m 的元素生成之子模。考慮從 G-模範疇映至阿貝爾群範疇的函子

M \to M_G := M/DM = \Z \otimes_{\Z[G]} M

這是一個右正合函子,其導出函子稱為為群同調 H_n(G,M)。群同調可以藉Tor函子描述為

H_i(G,M) \simeq \mathrm{Tor}^{\Z[G]}_i (\Z, M)

對於有限群,群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。

非阿貝爾群上同調[编辑]

將上述定義中的 G-模 M 改成一般的群 A(未必交換),並帶有 G 的作用 a \mapsto g(a)(稱之為 G-群)。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調:

H^0(G,A) := A^G = \{a \in A | \forall g \in G, \; g(a)=a \}
H^1(G,A) := \dfrac{\{ a_s : G \to A | \forall s,t \in G, \; a_{st} = a_s s(a_t)\}}{\{ b_s: G \to A | \exists a, b_s = a^{-1} s(a)\}}

須留意 H^0(G,A), H^1(G,A) 並不是群,而是帶有一個指定元素的集合(來自 A 的單位元素),以下所謂的正合性,都應該在此意義下理解。

1 \to A \to B \to C \to 1G-群的短正合序列,則有長正合序列

1 \to A^G \to B^G \to C^G \to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C)

A落在 B 的中心,此序列右端可再加一項 H^1(G,C) \to H^2(G,A)

性質[编辑]

Res 與 Cor[编辑]

f: H \to G 為群同態,則可將任一 G-模透過 f 視為 H-模,此運算導出上同調之間的映射

H^\bullet(G,M) \to H^\bullet(H, M)

此映射與群上同調的長正合序列相容。當 HG 的子群而 f 是包含映射,導出的映射稱為限制映射,記為 Res。

由於我們假設 G 為有限群,必有 (G:H) < \infty,此時映射

N_{G/H}: M^H \to M^G, \quad N_{G/H}(m) := \sum_{g \in G/H} gm

導出一個上限制映射 \mathrm{Cor}: H^\bullet(H,M) \to H^\bullet(G,M)

定理. \mathrm{Cor} \circ \mathrm{Res} = (G:H) \mathrm{id}

中心擴張[编辑]

M 是平凡的 G 模(即 \forall g \in G, \; gm=m),則 H^2(G,M) 中的元素一一對應於 GM中心擴張的等價類

0 \to M \to E \stackrel{p}{\to} G \to 1

中心擴張意謂:0 \to M \to E \to G \to 1群擴張,而且 M 落在 E 的中心內。

具體描述方法是:任取一映射 s: G \to E, p\circ s = \mathrm{id}_Gs 不一定是群同態,但存在函數 f: G^2 \to M 使得 s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')sf 刻劃了 E 的群結構。不難驗證 f \in K^2 滿足 df=0,而 s 的選取對應於 f \mapsto f + dh, h \in K^1,所以 f \in H^2(G,A) 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之,任一 f \in H^2(G,A) 都來自於某個中心擴張,證畢。

譜序列[编辑]

N \subset GG正規子群,則有下述譜序列

 H^p(G/N, H^q(N,A)) \implies H^{p+q}(G,A).\,

對於射影有限群,此式依然成立。

參考文獻[编辑]