群同態

從 G(左)到 H(右)的群同態(h)的像。在 H 內的小橢圓形是 h 的像。N 是 h 的核而 aN 是 h 的陪集。

在數學中，給定兩個群 (G, *) 和 (H, ·)，從 (G, *) 到 (H, ·) 的群同態是函數 h : G → H 使得對於所有 G 中的 u 和 v 下述等式成立

h(u * v) = h(u) · h(v)

這里的在等號左側的群運算是 G 的運算而右側的運算是 H 的運算。

從這個性質，我們推導出 h 映射 G 的單位元 e_G 到 H 的單位元 e_H，并且它還在 h(u^-1) = h(u)^-1 的意義上映射逆元到逆元。因此我們可以說 h “兼容於群結構”。

更老的給同態 h(x) 的符號是 x_h，它容易混淆於索引或一般下標。更新近的傾向是把群同態寫在它們的自變量的右側，省略括號，如此 h(x) 簡化成了 x h。這種方法特別流行於自動機扮演角色的群論領域，因為它更適應自動機從左至右讀字詞的習慣。

在考慮配備了加法結構的群的數學領域中，同態有時關照的不只是(如上)群結構而且還有額外的結構。比如拓撲群的同態經常要求是連續性的。

像和核

我們定義 h 的核為被映射到 H 中單位元上的 G 中的那些元素的集合

ker(h) = { u ∈ G : h(u) = e_H }

定義 h 的像為

im(h) = { h(u) : u ∈ G }。

核是 G 的正規子群 (事實上，h(g^-1 u g) = h(g)^-1 h(u) h(g) = h(g)^-1 e_H h(g) = h(g)^-1 h(g) = e_H) 而像是 H 的子群。同態 h 是單射 (并叫做单同態) 當且僅當 ker(h) = {e_G}。

同態的核和像可以被解釋為對它接近於同構程度的程度。第一同構定理聲稱群同態的像 im(h) 同構於商群 G/ker(h)。

例子

• 考慮帶有加法的循環群 Z/3Z = {0, 1, 2} 和整數集 Z 的群。映射 h : Z → Z/3Z，有著 h(u) = u 模以 3，是群同態。它是滿射并且它的核由被三整除的所有整數構成。

• 指數映射產生從帶有加法的實數集 R 的群到帶有乘法的非零實數集 R^* 的群的群同態。核是 {0} 而像由正實數組成。

• 指數映射還產生從帶有加法的複數集 C 的群到帶有乘法的非零複數集 C^* 的群的同態。這個映射是滿射并且有核 { 2πki : k ∈ Z }，這可以從歐拉公式得出。

• 給定任何兩個群 G 和 H，映射 h : G → H，把所有 G 的元素對應到 H 的單位元，是同態；它的核是集合 G。

• 給定任何群 G，恒等映射 id : G → G，有著 id(u) = u 對於所有 G 中的 u，是群同態。

群范疇

如果 h : G → H 和 k : H → K 是群同態，則 k o h : G → K 也是群同態。這證明所有群的類，和群同態作為態射一起形成一個范疇。

同態映射的類型

如果同態 h 是雙射，則你還可以證明它的逆映射仍是同態，這種 h 叫做群同構；在這種情況下，群 G 和 H 被稱為是“同構的”: 它們只在元素的符號上有差異而對於所有實踐用途都是同一的。

如果 h: G → G 是群同態，我們稱之為 G 的自同態。如果它進一步的是雙射并且因此是同構，則稱為同構。群 G 的所有自同構的集合，帶有函數復合作為運算，自身形成一個群，叫做 G 的自同構群。它指示為 Aut(G)。作為例子，(Z, +) 的自同構群只有兩個元素，恒等變換和乘以 -1；它同構於 Z/2Z。

滿同態是滿射同態， 單同態是單射同態。

阿貝爾群的同態

如果 G 和 H 是阿貝爾群(就是交換群)，則所有從 G 到 H 的群同態的集合 Hom(G, H) 自身是阿貝爾群: 兩個同態的和 h + k 定義為

(h + k)(u) = h(u) + k(u)，對於所有 G 中 u。

H 的交換律對于證明 h + k 也是群同態是必需的。同態的加法在如下意義上兼容於同態的復合: 如果 f 在 Hom(K, G) 中，h, k 是 Hom(G, H) 的元素，并且 g 在 Hom(H,L) 中，則

(h + k) o f = (h o f) + (k o f)，并且 g o (h + k) = (g o h) + (g o k)。

這證明了一個阿貝爾群的所有自同態的集合 End(G) 形成了一個環，即 G 的自同態環。例如，由 Z/2Z 的兩個復本的直積構成的阿貝爾群(克萊因四元群)的自同態群同構於帶有 Z/2Z 內元素的 2×2 矩陣的環。上述兼容性還證明所有阿貝爾群帶有群同態的范疇形成了預加法范疇；直積和良好定義的核的存在性使這個范疇成為阿貝爾范疇的原型例子。

參見

• 同態基本定理

引用

• Lang, Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211. 3rd, Springer-Verlag. 2002 .

外部鏈接

• PlanetMath上Group Homomorphism的資料。