群同構

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抽象代數中,群同構是在兩個群之間的函數,它以關照到了群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個同構,則這兩個群叫做同構的。從群論的立場看,同構的群有相同的性質而不要區分。

定義和符號[编辑]

給定兩個 (G, *) 和 (H, \odot),從 (G, *) 到 (H, \odot) 的群同構是從 GH雙射群同態。這意味著群同構是雙射函數 f : G \rightarrow H 使得對於所有 G 中的 uv 有著

 f(u * v) = f(u) \odot f(v)

兩個群 (G, *) 和 (H, \odot) 是同構的如果存在一個群同構。這寫為:

(G, *) \cong (H, \odot)

經常使用簡寫符號。在關於群運算沒有歧義的情況下,可以省略它:

G \cong H

有時甚至簡寫為 G = H。這種表示是否引起歧義或混淆依賴於上下文。例如,在這兩個群是同一個群的子群的時候就不適合。參見后面的例子。

反過來說,給定群 (G, *)、集合 H雙射 f : G \rightarrow H,我們可以通過定義 f(u) \odot f(v) = f(u * v) 制造一個群 (H, \odot)。

如果 H = G 并且 \odot = * 則雙射是自同構

例子[编辑]

  • 實數集帶有加法的群 (\mathbb{R},+) 同構於正實數集帶有乘法的群 (\mathbb{R}+,×):
(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)

通過同構

f(x) = e^x \,

(參見指數函數)。

\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1

同構給出為

f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi}

對于所有 x \in \mathbb{R}

  • 如果 (G, *) 是無限循環群,則 (G, *) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看,這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。

某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的,但在理論上不能構造出具體的同構。比如:

  • 群 (\mathbb{R}, +) 同構於所有複數帶有加法的群 (\mathbb{C}, +)。
  • 非零複數集帶有乘法的群 (\mathbb{C}*, ·) 同構於上面提及的群 S1

性質[编辑]

  • 從 (G, *) 到 (H, \odot) 的同構的總是 {eG} 這里的 eG 是群 (G, *) 的單位元。
  • 如果 (G, *) 同構於 (H,\odot),并且如果 G阿貝爾群H 也是。
  • 如果 (G, *) 是同構於 (H, \odot) 的有限群,這里 f 是同構,則如果 a 屬于 G 并有 n,則 f(a) 也是。
  • 如果 (G, *) 是同構於 (H, \odot) 的局部有限群,則 (H, \odot) 也是局部有限群。
  • 前面的例子展示了同構總是保持“群性質”。

推論[编辑]

從定義可以得出任何同構 f : G \rightarrow H 將映射 G 的單位元到 H 的單位元,

f(e_G) = e_H

并且映射逆元到逆元,

f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}

和更一般的,n 次冪到 n 次冪

f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n

對於所有 uG,并且逆映射 f^{-1} : H \rightarrow G 也是群同構。

“同構”關系滿足等價關系的所有公理。如果 f 是在兩個群 GH 之間的同構,則關於 G 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 f 轉換成關於 H 的同樣為真的陳述,反之亦然。

自同構[编辑]

從群 (G,*) 到自身的同構叫做這個群的自同構。就是說這是雙射 f : G \rightarrow G 使得

f(u) * f(v) = f(u * v)

自同構總是映射單位元到自身。共軛類在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。

兩個自同構的復合也是自同構,并且群 G 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群,即 G自同構群,指示為 Aut(G)。

對于所有阿貝爾群,至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是,在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構,比如在克萊因四元群中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構,所以這個自同構群同構於 S3 和 Dih3

在對於素數 p 的 Zp 中,一個非單位元元素可以被替換為另一個,帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Zp − 1。例如,對于 n = 7,Z7 的所有元素乘以 3 再模以 7,是在這個自同構群中的一個 6 階自同構,因為 36 = 1 ( modulo 7 ),而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z6。這里還有一個自同構有這個性質: Z7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z6 的元素 1 和 5,以這個次序或反過來。

Z6 的自同構群同構於 Z2,因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z6,所以除了單位元之外我們只能互換它們。

Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 的自同構群有階 168,這可以如下這樣找到。所有 23 - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色,所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 23 - 22 = 4 個選擇,這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個自同構。它們對應於Fano平面的成員,它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群

對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構

非阿貝爾群有非平凡的內自同構群,并可能也有外自同構。

參見[编辑]