群擴張

在抽象代數中，設 $Q$ 為群，若存在群 $G, N$，及群的正合序列

$1 \to N \stackrel{i}{\to} G \stackrel{p}{\to} Q \to 1$

（換言之，$i$ 是單射、$p$ 是滿射，且 $\mathrm{Ker}(p)=\mathrm{Im}(i)$；是故可視 $N$ 為 $G$ 的正規子群，$G/N \simeq Q$。）則稱群 $G$ 為 $Q$ 的群擴張，或稱 $Q$ 對 $N$ 的扩张。

由短正合序列的同構關係，可以定義群擴張的等價類。若某個群擴張等價於

$1 \to N \to N \times Q \to Q \to 1$

則稱此擴張為平凡擴張。當 $N$ 落在 $G$ 的中心時，稱之為中心擴張。

分類

一般的群擴張不易分類。若限定 $G$ 為阿貝爾群，則 $Q$ 對 $N$ 的擴張等價類一一對應於 $\mathrm{Ext}^1_\Z(Q,N)$（參見條目 Ext函子）。

另一方面，若在群擴張 $0 \to A \to E \to G \to 1$ 中，$A$ 為阿貝爾群，可任取一截面 $s: G \to E$（s 不一定是群同態），群 $G$ 以共軛方式 $a \mapsto s(g)as(g)^{-1}$ 在 $A$ 上作用。這類擴張的等價類由群上同調 $H^2(G,A)$ 分類，並具有自然的群結構。最常見的例子是中心擴張。

李代數的擴張

利用同樣作法，也可以定義李代數的擴張。此即李代數的正合序列

$0 \to \mathfrak{a} \to \mathfrak{e} \to \mathfrak{g} \to 0$

若 $[\mathfrak{a}, \mathfrak{e}]=0$，稱之為中心擴張。

參考資料

• V.E. Govorov, Extension of a group//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104