群概形

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定義[编辑]

代數幾何中,一個概形S上的群概形G是範疇\mathrm{Sch}_S中的群對象。藉由米田信夫引理,我們可以給出兩種刻劃:

  • 以乘法、單位元與逆元定義:存在\mathrm{Sch}_S中的態射
    • 乘法:m: G \times_S G \rightarrow G
    • 單位元:e: S \rightarrow G
    • 逆元:i: G \rightarrow G

並滿足結合律等等群的性質。

  • 以函子性定義:點函子 h_G: \mathrm{Sch}_S \rightarrow \mathrm{Set} 透過遺忘函子 \mathrm{Group} \rightarrow \mathrm{Set} 分解。。

換言之:對於任意的 S-概形 TG(T)構成一個群;而且對任意S-態射 T' \rightarrow T,誘導映射 G(T) \rightarrow G(T') 都是群同態。

  • 代數群:設k為域,\mathrm{Spec}(k)上的連通、光滑群概形稱作k上的代數群。
  • 李代數:群概形G自然地作用在它的全體向量場上。G的全體左不變向量場稱作G的李代數,記為\mathrm{Lie}(G);它是S上的層。

例子[编辑]

  • 交換環譜 \mathrm{Spec}(A) 的群概形結構一一對應到 AHopf代數結構。
  • 阿貝爾簇:即一個域k上的真(proper)代數群,它們必然是可交換的。
  • 線性代數群:即GL(n)中的閉子群。仿射代數群都是線性代數群,它們在表示理論數論中佔有根本地位。Chevalley定理斷言:若k代數封閉,則對所有代數群G都存在短正合列 1 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow A \rightarrow 1,其中H是線性代數群而A是阿貝爾簇。在此意義下,所有代數群都是由阿貝爾簇與線性代數群建構而來。
  • \mathrm{char}(k)=p>0,並考慮k[T]/T^{p^r}, k[T,T^{-1}]/(T^{p^r}-1) 的譜。這些群在拓樸上只有一個點,但其結構層帶有冪零元素。這些子群在代數群的研究中相當常見,同時也是理解\mathrm{char}(k) > 0 時的代數群之重要關鍵。

文獻[编辑]

  • A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.
  • M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I (1970), PA Masson
  • D. Mumford, Abelian Varieties (1970), Oxford Univ. Press