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幾何之中,聯絡是一點所對應的空間與另一點所對應的空間之間的轉換。這種轉換是沿著一曲線(族)的連續地變化,遵循平行性及邏輯上的一致性。在現代幾何中,依照不同的空間,可定義出好幾種不同的聯絡。

例如最常見的仿射聯絡,即是在流形上由一點上切空間,到另一點上切空間,沿著一條曲線的轉換。彷射聯絡可以用來定義協變導數,推廣了向量空間中方向導數的概念。

聯絡是現代幾何中一個應用範圍廣泛的核心概念,因為藉由聯絡,在一個幾何實體中,不同兩點上的局部幾何空間(可理解為鄰域),這兩者間的元素得以互相比較。

聯絡使得幾何不變量可以表述為能夠顯現出其本質的形式,像是曲率(詳見曲率張量曲率形式)及挠率等,都是由聯絡所導出的。

動機:座標系統的侷限[编辑]

藍色向量跟紅色向量一開始(在圖上的黑色向量)是指向一樣的方向,但分別沿著圖上不同的曲線作平行移動到同一點後,卻會指向不一樣的方向。這是因為曲率不為零的關係。

先注意到原始平行移動的概念:當一個轉換不會讓向量的分量有所改變時,便稱此轉換為平行移動

設在球面上的北極點有一個切向量,我們將試著藉由適當的定義,把那切向量能從球體上一點平行移動到其他點。注意到切向量其實是點上局部座標系的元素,所以在球面上的平行移動能理解為切向量在兩個切空間之間的轉換。然而,原始平行移動的概念並不能把存在於某個切空間的切向量,轉換到不同的切空間中。

為了讓平行移動的概念更加清楚,我們考慮一種等價的移動方法:使切向量黏在北極點且整體座標系固定的情況下,旋轉球體使得北極點沿著曲線移動(後續將會知道,這是列维-奇维塔联络的移動方式)。如圖所示,雖然切向量移動的起點和終點是一樣的,但沿著不同的曲線移動的話,它最終指向的方向也會不一樣,這現象反映了球體的曲率。(有趣的是,古中國發明的指南車,它的行為就跟在平行移動下的切向量沒兩樣。)

現在我們把原始平行移動的概念推廣,使之能用於在不同切空間的轉換,稱為聯絡:若有個'轉換'將一個切向量A從切空間S,轉換成切空間T中的向量B,並使得A於S座標系的每個分量,都分別跟B於T座標系的對應分量相等,則此轉換即是聯絡

藉聯絡定義導數的方案[编辑]

當我們使用向量微積分中的方向導數時會發現,方向導數在不同空間的轉換下,沒辦法反映轉換前後不變的性質。另外,方向導數是歐幾里德空間中向量場沿著一方向的變化,但不是每種空間都能像歐幾里德空間這樣做。因為在任意座標系中,兩個存在於不同切空間的切向量,並不能相加或相減,這使的方向導數的定義不能在上述的球面上使用。為此,我們提出一個可行的方案以取代方向導數。

在空間轉換下,張量的表述方法可以反映在空間變換下不變的性質,其中共變導數正好可以用來取代方向導數。共變導數藉由一個聯絡(他的分量形式是克里斯托福符號Γ),讓不同但無窮接近的兩個切空間中的切向量,可以轉換到同一個切空間中,如此一來兩向量就可以相加相減,使得此種導數概念可以被定義出來。

一個更廣義的方法是使用李群藉以反映空間上的對稱性。李群使用的聯絡是嘉当联络

各領域中聯絡的定義[编辑]

以下將提及的是“线性”或“仿射”联络。

除了“仿射”联络之外還有其他的聯絡,例如射影联络的概念,這概念的其中一個特例是复分析裡的施瓦茨导数