背包问题

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背包问题的一个例子:应该选择哪些盒子,才能使价格尽可能地大,而保持重量小于或等于15 kg?

背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化NP完全问题。问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学计算复杂性理论密码学应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题,即在总重量不超过W的前提下,总价值是否能达到V

定义[编辑]

我们有n种物品,物品j的重量为wj,价格为pj。我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W

如果限定每种物品只能选择0个或1个,则问题称为0-1背包问题。可以用公式表示为:

最大化 \qquad \sum_{j=1}^n p_j\,x_j
受限于 \qquad \sum_{j=1}^n w_j\,x_j \ \leqslant \ W, \quad \quad x_j \ \in \ \{0,1\}

如果限定物品j最多只能选择bj个,则问题称为有界背包问题。可以用公式表示为:

最大化 \qquad \sum_{j=1}^n p_j\,x_j
受限于 \qquad \sum_{j=1}^n w_j\,x_j \ \leqslant \ W, \quad \quad x_j \ \in \ \{0,1,\ldots,b_j\}

如果不限定每种物品的数量,则问题称为无界背包问题
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。

计算复杂度[编辑]

在计算机科学领域,人们对背包问题感兴趣的原因在于:

动态规划解法[编辑]

无界背包问题[编辑]

如果重量w1, ..., wnW都是非负的整数,那么用动态规划,可以用伪多项式时间解决背包问题。下面描述了无界背包问题的解法。

简便起见,我们假定重量都是正整数(wj > 0)。在总重量不超过W的前提下,我们希望总价格最高。对于YW,我们将在总重量不超过Y的前提下,总价格所能达到的最高值定义为A(Y)。A(W)即为问题的答案。

显然,A(Y)满足:

  • A(0) = 0
  • A(Y) = max { A(Y - 1), max { pj + A(Y - wj) | wjY } }

其中,pj为第j种物品的价格。

关于第二个公式的一个解释:总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况,第一种是该重量无法被完全填满,这对应于表达式A(Y - 1)。第二种是刚好填满,这对应于一个包含一系列刚好填满的可能性的集合,其中的可能性是指当最后放进包中的物品恰好是重量为wj的物品时背包填满并达到最高价值。而这时的背包价值等于重量为wj物品的价值和当没有放入该物品时背包的最高价值之和。故归纳为表达式pj + A(Y - wj)。最后把所有上述情况中背包价值的最大值求出就得到了A(Y)的值。

如果总重量为0,总价值也为0。然后依次计算A(0), A(1), ..., A(W),并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用,完成这些步骤后A(W)即为最终结果。由于每次计算A(Y)都需要检查n种物品,并且需要计算WA(Y)值,因此动态规划解法的时间复杂度为O(nW)。如果把w1, ..., wn, W都除以它们的最大公因数,算法的时间将得到很大的提升。

尽管背包问题的时间复杂度为O(nW),但它仍然是一个NP完全问题。这是因为W同问题的输入大小并不成线性关系。原因在于问题的输入大小仅仅取决于表达输入所需的比特数。事实上,log W,即表达W所需的比特数,同问题的输入长度成线性关系。

0-1背包问题[编辑]

类似的方法可以解决0-1背包问题,算法同样需要伪多项式时间。我们同样假定w1, ..., wnW都是正整数。我们将在总重量不超过Y的前提下,前j种物品的总价格所能达到的最高值定义为A(j, Y)。

A(j, Y)的递推关系为:

  • A(0, Y) = 0
  • A(j, 0) = 0
  • 如果wj > Y, A(j, Y) = A(j - 1, Y)
  • 如果wjY, A(j, Y) = max { A(j - 1, Y), pj + A(j - 1, Y - wj) }

通过计算A(n, W)即得到最终结果。为提高算法性能,我们把先前计算的结果存入表中。因此算法需要的时间和空间都为O(nW),通过对算法的改进,空间的消耗可以降至O(W)。

二次背包问题[编辑]

推广的背包问题有二次背包问题多维背包问题多目标背包问题等。

二次背包问题是背包问题的一种推广形式:

最大化 \sum_{j=1}^n p_j x_j+\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n p_{ij} x_i x_j
受限于 \sum_{j=1}^n w_j x_j \leq W,
 x_j \in \{0,1\} for all 1 \leq j \leq n

外部链接[编辑]