自伴算子

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數學裏,作用於一個有限維的內積空間,一個自伴算子self-adjoint operator)等於自己的伴隨算子;等價地說,表達自伴算子的矩陣埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣等於自己的共軛轉置。根據有限維的譜定理,必定存在著一個正交歸一基,可以表達自伴算子為一個實值對角矩陣

量子力學[编辑]

量子力學裏,自伴算子,又稱為自伴算符,或厄米算符Hermitian operator),是一種等於自己的厄米共軛算符。給予算符\hat{O}\,\!和其伴隨算符\hat{O}^{\dagger}\,\!,假設\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\! ,則稱\hat{O}\,\!為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可觀察量[编辑]

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量O\,\!的期望值是實值的:

\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!

對於任意量子態|\psi\rangle\,\!,這關係都成立;

\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!

根據伴隨算符的定義,假設\hat{O}^{\dagger}\,\!\hat{O}\,\!的伴隨算符,則\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!。因此,

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符\hat{O}\,\!,都是厄米算符。

可觀察量,像位置動量角動量,和自旋,都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符\hat{H}\,\!是一個很重要的自伴算符,表達為

 \hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!

其中,\psi\,\!是粒子的波函數\hbar\,\!約化普朗克常數m\,\!質量V\,\!位勢

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量,一個可觀察量

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態|\psi\rangle\,\!的波函數為\psi(x)\,\!

\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle
\,\!

對於任意量子態|\psi\rangle\,\!\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻[编辑]

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004年: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.