自守数

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自守数(Automorphic Number,中国大陆一些文献中也称为同构数):是其任意次的末几位数字等于这个数本身的数。在十进制数字中,562576376625、……(OEIS中的数列A003226)都是自守数。如果一个数是自守数,则它必定满足x^m \equiv x \pmod{n}

在十进制的k位數中,最多有兩类自守數,一個個位數字為5,另一個個位數字為6(除非k=1,該數為3)。一個形式為n\equiv 0\pmod{2^{k}}, n\equiv 1\pmod{5^{k}};另一個形式為n\equiv 1\pmod{2^{k}}, n\equiv 0\pmod{5^{k}}。其和必定为10^k+1

类似的,自守数可以推广到高次。如果把原来意义上的自守数称为2阶的话,把形如

749^3=420 189 749\,\!

3阶自守数的列表:1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249……(OEIS中的数列A033819

的数称为3阶自守数。

外部链接[编辑]

透视自守数,中華民國第四十四屆中小學科學展覽會,彭冠銓,陳衍方,馮冠霖,張恆豪著。