自旋-軌道作用

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量子力學裏,一個粒子因為自旋軌道運動而產生的作用,稱為自旋-軌道作用英语Spin–orbit interaction),自旋-軌道效應自旋-軌道耦合。最著名的例子是電子能級的位移。電子移動經過原子核電場時,會產生電磁作用.電子的自旋與這電磁作用的耦合,形成了自旋-軌道作用。譜線分裂實驗明顯地偵測到電子能級的位移,證實了自旋-軌道作用理論的正確性。另外一個類似的例子是原子核殼層模型shell model能級的位移。

半導體或其它新穎材料常常會涉及電子的自旋-軌道效應。自旋電子學專門研究與應用這方面的問題。

電子的自旋-軌道作用[编辑]

在這篇文章裏,會以相當簡單與公式化的方式,詳細地講解一個束縛於原子內的電子的自旋-軌道作用理論。這會用到電磁學非相對論性量子力學一階微擾理論。這自旋-軌道作用理論給出的答案,雖然與實驗結果並不完全相同,但也相當的符合。更嚴峻的導引應該從狄拉克方程式開始,也會求得相同的答案。若想得到更準確的答案,則必須用量子電動力學來計算微小的修正。這兩種方法都在本條目範圍之外。

磁場[编辑]

雖然在原子核的靜止參考系 (rest frame) ,並沒有磁場;在電子的靜止參考系,有磁場存在。暫時忽略電子的靜止參考系不是慣性參考系,則根據狹義相對論[1],磁場 \mathbf{B}\,\!

\mathbf{B} = - \,\frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2}\,\!(1)

其中,\mathbf{v}\,\! 是電子的速度,\mathbf{E}\,\! 是電子運動經過的電場,c\,\!光速

以質子的位置為原點,則從質子產生的電場是

\mathbf{E}=\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}} =\frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 r^3}\mathbf{r} \,\!

其中,Z\,\! 是質子數量(原子序數),e\,\!單位電荷量\epsilon_0\,\!真空電容率\hat{r}\,\! 是徑向單位向量,r\,\! 是徑向距離,徑向向量 \mathbf{r}\,\! 是電子的位置。

電子的動量 \mathbf{p}\,\!

\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!

其中,m\,\! 是電子的質量。

所以,作用於電子的磁場是

\mathbf{B} = \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \frac{Ze}{4\pi\epsilon_0 m c^2 r^3}\,\mathbf{L}\,\!(2)

其中,\mathbf{L}\,\!角動量\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!

\mathbf{B}\,\! 是一個正值因子乘以 \mathbf{L}\,\! ,也就是說,磁場與電子的軌道角動量平行。

磁矩[编辑]

電子的磁矩 \boldsymbol{\mu}\,\!

\boldsymbol{\mu} = \gamma\,\mathbf{S}\,\!

其中,\gamma=\frac{g_s q_e}{2m}\,\!迴轉磁比率 (gyromagnetic ratio) ,\mathbf{S}\,\! 是自旋,g_s\,\!電子自旋g因數q_e\,\!電荷量

電子的g-因數(g-factor)是 2\,\! ,電荷量是  - e\,\! 。所以,

\boldsymbol{\mu} =  - \frac{e}{m}\mathbf{S}\,\!(3)

電子的磁矩與自旋反平行。

哈密頓量微擾項目[编辑]

自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目是

H'= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!

代入 \boldsymbol{\mu}\,\! 的公式 (3) 和 \mathbf{B}\,\! 的公式(2),經過一番運算,可以得到

H'=\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!

一直到現在,都還沒有考慮到電子靜止坐標乃非慣性坐標。這事實引發的效應稱為托馬斯進動 (Thomas precession) 。因為這效應,必須添加因子 1/2\,\! 在公式裏。所以,

H'=\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2}\ \frac{\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}}{r^3}\,\!

能級位移[编辑]

在準備好了自旋-軌道作用的哈密頓量微擾項目以後,現在可以估算這項目會造成的能量位移。特別地,想要找到 H_0\,\!本徵函數形成的基底,使 H'\,\! 能夠對角化。為了找到這基底,先定義總角動量算符 \mathbf{J}\,\!

\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\,\!

總角動量算符與自己的內積是

\mathbf J^2=\mathbf L^2+\mathbf S^2+2\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}\,\!

所以,

\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}= {1\over 2}(\mathbf{J}^2 - \mathbf{L}^2 - \mathbf{S}^2)\,\!

請注意 H'\,\!\mathbf{L}\,\! 互相不對易H'\,\!\mathbf{S}\,\! 互相不對易。讀者可以很容易地證明這兩個事實。由於這兩個事實,H_0\,\!\mathbf{L}\,\! 的共同本徵函數不能被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移 E^{(1)}\,\!H_0\,\!\mathbf{S}\,\! 的共同本徵函數也不能被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移 E^{(1)}\,\! 。可是, H'\,\!J^2\,\!L^2\,\!S^2\,\! ,這四個算符都互相對易。H_0\,\!J^2\,\!L^2\,\!S^2\,\! ,這四個算符也都互相對易。所以,H_0\,\!J^2\,\!L^2\,\!S^2\,\! ,這四個算符的共同本徵函數 |n,j,l,s\rangle\,\! 可以被當做零微擾波函數,用來計算一階能量位移 E_n^{(1)}\,\! ;其中, n\,\!主量子數j\,\! 是總角量子數,l\,\!角量子數s\,\! 是自旋量子數。這一組本徵函數所形成的基底,就是想要尋找的基底。這共同本徵函數 |n,j,l,s\rangle\,\!\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\,\! 的期望值是

\begin{align} \langle n,j,l,s\,|\,\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \,|\,n,j,l,s\rangle & ={1\over 2}(\langle\mathbf{J}^2\rangle - \langle\mathbf{L}^2\rangle - \langle\mathbf{S}^2\rangle) \\
 & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] \\
 & ={\hbar^2\over 2}[j(j+1) - l(l+1) - 3/4] \\
\end{align}\,\!

其中,電子的自旋 s=1/2\,\!

經過一番繁瑣的運算[2],可以得到 r^{ - 3}\,\! 的期望值

\langle n,j,l,s\,|\, r^{ - 3}\, |\,n,j,l,s\rangle=\frac{2Z^3}{a_0^3 n^3 l(l+1)(2l+1)}\,\!

其中,a_0=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m e^2}\,\!波耳半徑

將這兩個期望值的公式代入,能級位移是

E_n^{(1)}=\frac{Z^4 e^2 \hbar^2}{8\pi\epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3}\ 
\frac{[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{n^3\, l(l+1)(2l+1)}\,\!

經過一番運算,可以得到

E_n^{(1)}=\frac{(E_n^{(0)})^2}{mc^2}\ \frac{2n[j(j+1) - l(l+1) - 3/4]}{l(l+1)(2l+1)}\,\!

其中,E_n^{(0)}=\frac{Z^2 \hbar^2}{2m a_0^2 n^2}\,\! 是主量子數為 n\,\! 的零微擾能級。

特別注意,當 l=0\,\! 時,這方程式會遇到除以零的不可定義運算;雖然分子項目 j(j+1) - l(l+1) - 3/4=0\,\! 也等於零。零除以零,仍舊無法計算這方程式的值。很幸運地,在精細結構能量微擾的計算裏,這不可定義問題自動地會消失。事實上,當 l=0\,\! 時,電子的軌道運動是球對偁的。這可以從電子的波函數的角部分觀察出來,l=0\,\! 球諧函數

Y_0^0=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\,\!

由於完全跟角度無關,角動量也是零,電子並不會感覺到任何磁場,所以,電子的 l=0\,\! 軌道沒有自旋-軌道作用。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ French, A. P. Special Relativity (The M.I.T Introductory Physics Series). W. W. Norton & Company, Inc. 1968年: pp. 237–250. ISBN 0748764224. 
  2. ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004年: pp. 266–276. ISBN 0-13-111892-7. 
  • E. U. Condon and G. H. Shortley. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. 1935年. ISBN 0-521-09209-4. 

外部連結[编辑]