自旋1/2

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量子物理中,自旋½表示一粒子所具有的內稟角動量自旋)為 \frac{\hbar}{2} \hbar\,普郎克約化常數,其中包括了電子質子中子中微子虧子(夸克)。自旋-½粒子在量子統計上屬於費米子,並遵守包立不相容原理

對自旋½粒子進行自旋性質的量子測量會得到兩個值。有兩個結果肇因於所存有的向量空間的維度。自旋½粒子的自旋量子態可以用一種兩個維度的複數值向量來描述,稱之為二元旋量。利用這種表示法,量子力學中的算符可寫成2乘2(2 x 2)的複數厄米矩陣

自旋投影算符S_z意義上代表了沿著z\,方向對自旋做的測量:

 S_z = \frac{\hbar}{2} \sigma _z  = \frac{\hbar}{2}  \begin{pmatrix}
1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}

S_z算符有兩個本徵值—— \pm \frac{\hbar}{2} ,有各自對應的本徵向量

 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = +\frac 1 2} \right \rangle = | {\uparrow} \rangle
 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \left \vert {s_z = -\frac 1 2} \right \rang  = | {\downarrow} \rang

其構成描述自旋之希爾伯特空間的完整基底,即自旋的態可用這兩個態的線性組合來代表。這兩個態方便上稱之為「自旋向上」(spin up)與「自旋向下」(spin down)。

自旋算符S有些特質和角動量算符L相同,但其他特質則不相同。

可為自旋½物體建構升降算符;其遵守和其他角動量算符相同的對易關係(交換關係)。

自旋投影算符旋轉的兩個本徵值與前面相同(相應於測量的可能結果),但本徵向量則不同——為向量自旋算符 \mathbf{S} \cdot \hat{n} ;其中n\,是一個順沿投影方向的單位向量,而

 \mathbf{S} = \frac{\hbar}{2} \mathbf{\sigma} = \frac{\hbar}{2} \left( \sigma _x \hat{x} + \sigma _y \hat{y} + \sigma _z \hat{z} \right)

這些\sigma\,包立矩陣或稱包立旋量

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