自治系统 (数学)

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数学中,一个动力系统被称为自治驻定)的,当且仅当这个系统由一组常微分方程组成,并且这些方程的表达式与动力系统的自变量无关。

在有关物理的动力系统中,自变量通常是时间。这时自治系统通常表示其中的物理规律不随时间变化的系统,也就是说空间中每一点的性质在过去、现在和将来都是一样的。

自治系统是动力系统中很重要的一个组成部分。理论上说,所有的动力系统都可以转化为自治系统。

定义[编辑]

形式上来说,一个自治系统是一个常微分方程

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))

其中 xn-欧几里得空间中取值,而 t 是自变量,一般表示时间。

注意到自治系统是一般的常微分方程组中的一个特例。常微分方程的一般形式为:

\frac{d}{dt}x(t)=g(x(t),t)

物理上来说,这表示空间中一点的性质不仅取决于它的位置,还取决于时间:在不同的时间,经过此一点的质点粒子会受到不同的影响。

性质[编辑]

对于一个自治系统,任意初值问题

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)) \, \mathrm{,} \quad x(t_0)=y_0

都等价于

\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)) \, \mathrm{,} \quad x(0)=y_1

其中的 y1 是一个可以由 y0 确定的值。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  • 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松,《常微分方程》(第三版),高等教育出版社。