自然對數

自然對數的函數圖像。

自然对数（英语：Natural logarithm）是以e為基的对数函数（$\ln x\!$），其逆函数—自然指数$e^x\!$—是以e作为基的指数函数。

数学表示方法

自然对数的一般表示方法為$\ln x\!$，若為了避免与基为10的常用对数$\log x\!$混淆，可用「全写」$\log_e x\!$；
而自然指数表示方法為$e^x=\exp(x)\!$。其中$x\!$可以为任意复数。

自然对数的展开

$\ln(x+1)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots,\ |x|<1$
以下為另外一条展开式:
$\ln{x}=\sum^{+\infin}_{N=0}\frac{2(x-1)^{2N+1}}{(2N+1)(x+1)^{2N+1}},\ x>0$

自然对数與其逆函数之微积分关系

$\begin{align} &\frac{{\rm{d}}e^x}{{\rm{d}}x}&=&e^x\\ &\frac{{\rm{d}}\ln\!|x|}{{\rm{d}}x}&=&\frac{1}{x}\\ &\int\ln x\ {\rm{d}}x&=&x\ln x-x+C \end{align}$

常見科学用法

自然指数有应用於表达放射衰变（放射性）之类关于衰減的过程，如放射性原子数目N随时间变化率dN/dt=-pN，常数p为原子衰变概率，积分得N(t)=N(0)·exp(-pt)。