自然数

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
負數
 整數 $\mathbb{Z}$
分数
 二进分数
 单位分数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理數 $\mathbb{Q}$
無理數
 二次无理数
 正规数
 實數 $\mathbb{R}$
虛數
 複數 $\mathbb{C}$
高斯整数
 艾森斯坦整数
 代數數
 代数整数
 规矩数
 超越數

延伸

雙複數
 超複數
 四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
 複四元數
 八元數 $\mathbb{O}$
十六元數
 Tessarine
超數
 大實數
 超實數
 上超實數
 各種超實數

其他

对偶数
 公稱值
 雙曲複數 $\mathbb{R}^{1,1}$
序列號
 超限數
 序數
 基數
 質數
 同餘
 P進數
 規矩數
 可計算數
 整數序列
 數學常數
 大數
 圓周率 π = 3.141592654...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

自然数，可以是指正整数（1, 2, 3, 4...），亦可以是非负整数（0, 1, 2, 3, 4...）。例如数论通常用前者，而集合论和计算机科学则多數使用後者。認為自然數不包含零的其中一個理由是因為人們（尤其是小孩）在開始學習數字的時候是由「一、二、三...」開始，而不是由「零、一、二、三...」開始, 因為這樣是很不自然的。

自然数通常有两个作用：

可以被用来计数（如“有三个苹果”），參閱基數
也可用于排序（如“这是国内第三大城市”）參閱序數

自然数有关整除性的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。有关计数的问题，比如Ramsey理论在组合学中研究。

数学家一般以 $\mathbb{N}$ 代表以自然数组成的集合。這是一個可數的，無上界的無窮集合。

[编辑] 历史与0的定性

自然数由数数目而起。古希臘人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

[编辑] 符号

数学家们使用 N 或 $\mathbb{N}$ 来表示所有自然数的集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：

N⁺ 或 $\mathbb{N}^{+}$
Z⁺ 或 $\mathbb{Z}^{+}$

而非负整数集合一般如下表示：

N⁰ 或 $\mathbb{N}^{0}$
Z⁺₀ 或 $\mathbb{Z}^{+}_{0}$

有些作者也使用 W 或 $\mathbb{W}$ 来表示“所有的数”的集合^{[來源請求]}。

[编辑] 定义

爲了给出自然数的严谨，皮亚诺提出自然数的5个公理，被稱爲皮亚诺公理：

有一起始自然数 0。
任一自然数 a 必有后继，记作 a +1。
0 并非任何自然数的后继。
不同的自然数有不同的后继。
（数学归纳公理）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。

注意，皮亞諾本人是把 0 除出自然数之外的，即公设内的 0 要换作 1。

集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集合，即 0 = { }，1 = {0}，2 = {0,1}，3 = {0,1,2} ……若有人把自然数看作集合，通常就是如上。

在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集。

[编辑] 性质

自然数加法可经 $a + 0 = a$ 及 $a + (b + 1) = (a + b) + 1$ 递归定义而成。因而得出可置换幺半群 $(N, + )$ ，是由 $1$ 生出的自由幺半群，其中幺元为 $0$ 。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。

同理，自然数乘法 $\times$ 可经 $a \times 0=0$ 及 $a \times (b+1)=ab+a$ 得出。而 $(N, \times)$ 亦是可置换幺半群； $\times$ 和 $+$ 服从分配律：

$a \times (b+c)=ab+ac$ 。

我们说 $a \le b$ 当且仅当有自然数 $c$ 使得 $a + c = b$ 。 $(N, \le)$ 是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若 $a$ ， $b$ 和 $c$ 都是自然数且 $a \le b$ ，则 $a+c \le b+c$ 及 $ac \le bc$ 。