自由對象

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數學中,自由對象抽象代數中的基本概念。就其通於各種代數結構(帶有限操作)而言,它也屬泛代數的一支,例子包括自由群張量代數自由格。在範疇論的框架下,可以將自由對象推廣為自由函子,這是遺忘函子的左伴隨函子

自由函子[编辑]

範疇論為自由對象提供了普遍框架。考慮一種代數結構(如等等)的範疇 \mathcal{C}。其上具有一個遺忘函子 U: \mathcal{C} \to \mathbf{Set},此函子將一個對象映至其下的集合;換言之,此函子「遺忘」所有代數操作。

U 有左伴隨函子 F: \mathbf{Set} \to \mathcal{C},則稱之為 \mathcal{C}自由函子F(X) 可以設想為由集合 X 生成的自由對象,此時也有映射 X \to F(X)(在此濫用了符號:其實 F(X) 是個代數結構,而 X 卻是集合),此映射可理解為從生成元到自由對象的包含映射。

對於更一般的遺忘函子,也能考慮相應的自由函子,例如從 k-向量空間映至其張量代數的函子,便是從 k-代數映至 k-向量空間的遺忘函子之左伴隨函子。在此意義下,張量代數有時也稱為自由代數

例子[编辑]