自由積

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數學群論中,自由積英语free product法语produit libre)是從兩個以上的構造出一個群的一種操作。兩個群GH的自由積,是一個新的群GH。這個群包含GH子群,由GH的元素生成,並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群,除非GH其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群(由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群)相似。

自由積是群範疇中的餘積

建構方式[编辑]

GH是群,以GH形成的是以下形式的乘積:

s_1 s_2 \cdots s_n,

其中siGH的元。這種字可以用以下的操作簡化:

  • 除去其中的(GH的)單位元,
  • 將其中的g1g2一對元素以其在G中的積代替,將其中的h1h2一對元素以其在H中的積代替。

每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積,例如:

g_1 h_1 g_2 h_2 \cdots g_k h_k.

自由積GH的元素是以GH形成的簡約字,其上的運算是將兩字接合後簡化。

例如若G是無窮循環群<x>,H是無窮循環群<y>,則GH的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時GH同構於以xy生成的自由群

(G_i)_{i\in I}是群的一個族。用G_i形成的字,也可以用上述操作簡化為簡約字。仿上可定義出G_i自由積*_{i\in I} G_i

展示[编辑]

G = \langle S_G \mid R_G \rangle

G的一個展示SG是生成元的集合,RG是關係元的集合),又設

H = \langle S_H \mid R_H \rangle

H的一個展示。那麼

G * H = \langle S_G \cup S_H \mid R_G \cup R_H \rangle.

即是GHG的生成元和H的生成元所生成,而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。(兩者都是不交併。)

性質[编辑]

泛性質[编辑]

G是群,(G_i)_{i\in I}是由群組成的一個族,有一族群同態(\phi_i\colon G_i \to G)_{i\in I}。那麼存在唯一的群同態\phi\colon *_{i\in I} G_i \to G,使得對所有i_0\in I都有

\phi_{i_0} = \phi \circ \iota_{i_0}

其中\iota_{i_0}\colon G_{i_0} \to *_{i\in I} G_i 是把G_{i_0}嵌入到*_{i\in I} G_i中的群同態。

共合積[编辑]

共合積英语amalgamated (free) productfree product with amalgamation法语produit (libre) amalgamé)是自由積的推廣。設GH是群,又設F是另一個群,並有群同態

\phi\colon F\to G\psi\colon F\to H

F中所有元素f,在自由積GH中加入關係

\phi(f)\psi^{-1}(f)=e

便得出其共合積。換言之,在GH中取最小的正規子群N,使得上式左方的元素都包含在內,則商群

(G * H)/ N

就是共合積G *_F H

共合積可視為在群範疇中圖表G \leftarrow F \rightarrow H推出

塞弗特-范坎彭定理指,兩個路徑連通拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的,其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。

共合積及與之相近的HNN擴張,是討論在作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。

參考[编辑]