自由粒子

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物理學裏,自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏,一個自由粒子所感受到外來的淨力是 0 。

假若,一個粒子的能量大於在任何地點 x\,\!位勢E > V(x) \,\! ,不會被位勢束縛,則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義,還要求位勢為常數 V(x)=V_0 \,\! 。假若,一維空間分為幾個區域,只有在每個區域內,位勢為常數;在區域與區域之間,位勢不相等,則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢,E > V(x) \,\! ,不會被位勢束縛,能量不是離散能量譜的特殊值,而是大於或等於 V_0\,\! 的任意值。

本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值,可以設定位勢為0,再根據新舊位勢的差額,調整能量。

古典自由粒子[编辑]

古典自由粒子的特點是它移動的速度 \mathbf{v}\,\! 是不變的。它的動量 \mathbf{p}\,\!

\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\!

其中,m\,\! 是粒子的質量

能量 E\,\!

E=\frac{1}{2}mv^2\,\!

非相對論性的自由粒子[编辑]

描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式

 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},t) = 
i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},t)

其中,\hbar約化普朗克常數\Psi(\mathbf{r},t) 是粒子的波函數\mathbf{r} 是粒子的位置,t 是時間。

這薛丁格方程式有一個平面波解:

\Psi(\mathbf{r},t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}

其中,\mathbf{k}波向量\omega角頻率

將這公式代入薛丁格方程,這兩個變數必須遵守關係式

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega\,\!

由於粒子存在的機率等於1,波函數 \Psi(\mathbf{r},t)\,\! 必須歸一化,才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。

動量的期望值

\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \Psi | - i\hbar\nabla|\Psi\rangle = \hbar\mathbf{k}\,\!

能量的期望值是

\langle E\rangle=\langle \Psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = \hbar\omega\,\!

代入波向量 \mathbf{k}\,\! 與角頻率 \omega\,\! 的關係方程,可以得到熟悉的能量與動量的關係方程:

\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}\,\!

波的群速度 v_g\,\! 定義為

v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = v\,\!

其中,v\,\! 是粒子的經典速度。

波的相速度 v_g\,\! 定義為

v_p=\frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}\,\!

量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為

\Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int_{\mathbb{K}} A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\mathrm{d}\mathbf{k}\,\!

其中,積分區域 \mathbb{K}\mathbf{k}-空間。

為了方便計算,只思考一維空間,

\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ \mathrm{d}k \,\!

其中,振幅 A(k)\,\!量子疊加的係數函數。

逆反過來,係數函數表示為

 A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,\ 0) ~ e^{ - ikx}\,\mathrm{d}x \,\!

其中,\Psi(x,\ 0)\,\! 是在時間 t=0\,\! 的波函數。

所以,知道在時間 t=0\,\! 的波函數 \Psi(x,\ 0)\,\! ,通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數 \Psi(x,t)\,\!

相對論性的自由粒子[编辑]

相對論性的自由粒子的量子行為,需要用特別的方程專門描述:

參閱[编辑]