自由粒子

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在物理學裏，自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏，一個自由粒子所感受到外來的淨力是 0 。

假若，一個粒子的能量大於在任何地點 x\,\! 的位勢，E > V(x) \,\! ，不會被位勢束縛，則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義，還要求位勢為常數 V(x)=V_0 \,\! 。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢，E > V(x) \,\! ，不會被位勢束縛，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於 V_0\,\! 的任意值。

在這裏，我們只研究強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值。我們可以設定位勢為 0 ，再根據新舊位勢的差額，調整能量。

目录

古典自由粒子 [编辑]

古典自由粒子的特點是它移動的速度 \mathbf{v}\,\! 是不變的。它的動量 \mathbf{p}\,\! 是

\mathbf{p}=m\mathbf{v}\,\! 。

其中，m\,\! 是粒子的質量。

能量 E\,\! 是

E=\frac{1}{2}mv^2\,\! 。

非相對論性的自由粒子 [编辑]

一個非相對論性的自由粒子的薛丁格方程為

- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \Psi(\mathbf{r},\ t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (\mathbf{r},\ t)\,\! 。

其中，\hbar\,\! 是約化普朗克常數，\Psi(\mathbf{r},\ t)\,\! 是粒子的波函數，\mathbf{r}\,\! 是粒子的位置，t\,\! 是時間。

這薛丁格方程式的解答是一個平面波：

\Psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\,\! ，

其中，\mathbf{k}\,\! 是波向量，\omega\,\! 是角頻率。

代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守以下關係：

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega\,\!。

由於粒子存在的機率必須等於 1 ，波函數 \Psi(\mathbf{r},\ t)\,\! 必須先歸一化，然後才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是一個問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。

動量的期望值是

\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \Psi | - i\hbar\nabla|\Psi\rangle = \hbar\mathbf{k}\,\! 。

能量的期望值是

\langle E\rangle=\langle \Psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle = \hbar\omega\,\! 。

代入波向量 \mathbf{k}\,\! 與角頻率 \omega\,\! 的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程：

\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m}\,\! 。

波的群速度 v_g\,\! 定義為

v_g= \frac{d\omega}{dk} = \frac{dE}{dp} = v\,\! ；

其中，v\,\! 是粒子的經典速度。

波的相速度 v_g\,\! 定義為

v_p=\frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}\,\! 。

在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為一個波包的函數。：

\Psi(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int A(\mathbf{k})e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}d\mathbf{k}\,\! ；

其中，積分的區域是所有的 \mathbf{k}\,\!-空間。

為了簡化計算，只思考一維空間，

\Psi(x,\ t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{ \infty}_{ - \infty} A(k) ~ e^{i(kx - \omega(k)t)} \ dk \,\! ；

其中，因子 1/\sqrt{2\pi} \,\! 是由傅立葉變換的常規而設定，振幅 A(k)\,\! 是線性疊加的係數函數。

逆反過來，係數函數可以表達為

A(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int^{\,\infty}_{ - \infty} \Psi(x,\ 0) ~ e^{ - ikx}\,dx \,\! ；

其中，\Psi(x,\ 0)\,\! 是波函數在時間 t=0\,\! 的函數形式。

所以，知道波函數在時間 t=0\,\! 的形式 \Psi(x,\ 0)\,\! ，借由傅立葉變換，我們可以推演出波函數在任何時間的形式 \Psi(x,\ t)\,\! 。

相對論性的自由粒子 [编辑]

相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述：

參閱 [编辑]

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