自相关函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

自相关函数信号处理时间序列分析中常用的数学工具,反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。

定义[编辑]

自相关函数在不同的领域,定义不完全等效。在某些领域,自相关函数等同于自协方差

统计学[编辑]

将一个有序的随机变量系列与其自身相比较,这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列,都与其自身相似,即在此情况下,自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性(不再是随机的),则由以下相关值方程所计算的值不再为零,这样的组成部分为自相关。

R(k) = \frac{E[(X_i - \mu_i)(X_{i+k} - \mu_{i+k})]}{\sigma^2}
E ......... 期望值。
X_i ........ 在t(i)时的随机变量值。
\mu_i ........ 在t(i)时的预期值。
X_{i+k} .... 在t(i+k)时的随机变量值。
\mu_{i+k} .... 在t(i+k)时的预期值。
\sigma^2 ......... 为方差。

所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值,-1则为最大負相关值,0為不相關。

信号处理[编辑]

在信息分析中,通常将自相关函数称之为自协方差方程。 用来描述信息在不同时间\tau的,信息函数值的相关性。

R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt,其中“*”是卷积算符,(\cdot)^*为取共轭

自相关函数的性质[编辑]

以下以一维自相关函数为例说明其性质,多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

  • 对称性:从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数
当f为实函数时,有:
R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,
当f是复函数时,该自相关函数是厄米函数,满足:
R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,
其中星号表示共轭
  • 连续型实自相关函数的峰值在原点取得,即对于任何延时 τ,均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。
  • 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。
  • 两个相互无关的函数(即对于所有 τ,两函数的互相关均为0)之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。
  • 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数,所以它具有后者的所有性质。
  • 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数,在除 τ = 0 之外的所有点均为0。
R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df
S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.
  • 实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数,因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式:
R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df
S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.

自相关函数举例[编辑]

白噪声的自相关函数为δ函数:

r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )

参考文献[编辑]