自相关函数

自相关函数，信号处理、时间序列分析中常用的数学工具，反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度。

定义

自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差。

统计学

将一个有序的随机变量系列与其自身相比较，这就是自相关函数在统计学中的定义。每个不存在相位差的系列，都与其自身相似，即在此情况下，自相关函数值最大。如果系列中的组成部分相互之间存在相关性（不再是随机的），则由以下相关值方程所计算的值不再为零，这样的组成部分为自相关。

$R(k) = \frac{E[(X_i - \mu_i)(X_{i+k} - \mu_{i+k})]}{\sigma^2}$

$E$ ......... 期望值。

$X_i$ ........ 在t(i)时的随机变量值。

$\mu_i$ ........ 在t(i)时的预期值。

$X_{i+k}$ .... 在t(i+k)时的随机变量值。

$\mu_{i+k}$ .... 在t(i+k)时的预期值。

$\sigma^2$ ......... 为方差。

所得的自相关值R的取值范围为[-1,1],1为最大正相关值，-1则为最大負相关值，0為不相關。

信号处理

在信息分析中，通常将自相关函数称之为自协方差方程。 用来描述信息在不同时间$\tau$的，信息函数值的相关性。

$R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt$，其中“$*$”是卷积算符，$(\cdot)^*$为取共轭。

自相关函数的性质

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

• 对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数

当f为实函数时，有：

$R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,$

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

$R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\,$

其中星号表示共轭。

• 连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 $|R_f(\tau)| \leq R_f(0)$。该结论可直接有柯西-施瓦茨不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

• 周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

• 两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

• 由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

• 连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。

• 维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.$

• 实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df$

$S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.$

自相关函数举例

白噪声的自相关函数为δ函数：

$r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )$