舒尔引理

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数学中,舒尔引理Schur's lemma)是代数表示论中一个初等但非常有用的命题。在群的情形是说,如果 MN 是群 G 的两个有限维不可约表示φ 是从 MN 的与群作用可交换的线性映射,那么 φ 可逆φ = 0。一个重要的特例是 M = Nφ 是一个到自身的映射。这个引理以伊赛·舒尔Issai Schur)命名,他使用这个引理证明了舒尔正交关系,奠定了有限群的表示论的基石。舒尔引理可以推广到李群李代数,其最通常的形式属于雅克·迪斯米埃Jacques Dixmier)。

用模的语言表述[编辑]

如果 MN 是环 R 上两个单模,则任何 R-模同构 f: MN 可逆或者为零。特别地,一个单环的自同态环除环

条件 f 是一个模的同构意味着:

 f(rm) = rf(m) 对所有 m 属于 Mr 属于 R 成立。

舒尔引理之群的版本是模版本的特例,因为群 G 的任何表示可等价地视为 G群环上的一个模。

舒尔引理经常用于下面这个特例。假设 R 是复数域 C 上的代数以及 M = NR 上有限维模。那么舒尔引理说模 M 的任何自同态要么是由一个非零数量相乘给出,要么是零。注意到在此时的前提下,除环中的任意元素f在M中存在特征子空间,而该特征子空间是R不变的,从而就是M,于是f属于C。这便是说模 M 的自同态环是 C,即“尽可能小”。更一般地,这个结论对任何代数封闭域上的代数以及至少是可数维单模也成立。如果域不是代数封闭的,自同态环尽可能小的情形是特别感兴趣的:一个 k-代数上的单模称为绝对单如果其自同态环同构于 k。这个条件一般强于是域 k 上的不可约模,意味着模甚至在 k代数闭包上也是不可约的。

矩阵形式[编辑]

G 是一个複矩阵群,这意味着 G 是给定阶数 n 的一个方块矩阵集合,矩阵元素为複数,且G矩阵乘法取逆运算下封闭。另外,假设 G 是不可约的:没有 V平凡子空间(即不为 {0} 或整个空间)在 G 的作用下不变。换句话说,

如果对所有 g 属于 GgV\subseteq V,则 V=\{0\}V=\mathbb{C}^n.

在只有一个表示的特例时,舒尔引理断言:如果 A 是与 G 中所有矩阵交换一个 n 阶複矩阵,那么 A 是一个数量矩阵。这个命题一个简单的推论是阿贝尔群的任何不可约複表示都是一维的。

推广到非单模[编辑]

一个模版本的舒爾引理有所涉及模 M 不必单的推广,他们描述了 M 的模理论性质与 M 的同态环之间的关系。

一个模称为绝对不可分解如果其同态环是一个局部环。对最重要的一类有限长模,下列性质是等价的 (Lam 2001,§19):

  • M 不可分解
  • M 强不可分解;
  • M 的任何自同态要么是幂零的要么可逆。

一般来说,舒尔引理的逆命题不成立:存在非单模,它们的自同态代数是除环。这样的模必然是不可分解的,从而不能在半单环(比如有限群的复群环)上存在。但是,即使在整数环上,有理数模的自同构模是一个除环,即有理数域。甚至对群环,存在例子使得域的特征整除群的阶数:五个点的交错群在三个元素的域上的一维表示的射影覆盖雅克布森根的同态环是三个元素的域。

参考文献[编辑]

  • David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract Algebra. 2nd ed., pg. 337.
  • Lam, Tsit-Yuen(林节玄), A First Course in Noncommutative Rings, Berlin, New York: Springer-Verlag. 2001, ISBN 978-0-387-95325-0