舒尔补

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线性代数矩阵论中,一个矩阵子矩阵舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵,定义如下:假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分,分别是p×pp×qq×p以及q×q的矩阵,也就是说:

M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]

并且D可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是:

A-BD^{-1}C.

这是一个p×p的矩阵。

舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔,后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而,舒尔补的概念在之前就曾经被使用过[1]

背景[编辑]

舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵,其转换矩阵是下三角矩阵

L=\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right].

其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后,左上角就会出现舒尔补,具体的形式是:

M\cdot L= \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix}\right].

因此,矩阵M的逆,如果存在的话,可以用D^{-1}以及其舒尔补(如果存在的话)来表示:

 \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} =
\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{matrix}\right]
\left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right]

= \left[ \begin{matrix} \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1}  &   -\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & D^{-1}+ D^{-1} C \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \end{matrix} \right].

pq都等于1(即ABCD都是系数)时,我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式:

 M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix}\right]

这也说明了AD-BC是非零的数。

在矩阵方程求解中的应用[编辑]

舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用:

Ax + By = a
Cx + Dy = b

其中x以及ap维的列向量,而y以及b则是q维的列向量。矩阵ABCD则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵BD^{-1},并将得到后的方程与第一个相减,就得到:

(A - BD^{-1} C) x = a - BD^{-1} b.\,

因此,如果可以知道D以及D的舒尔补的逆矩阵,就可以解出未知量x之后带入第二个方程Cx + Dy = b就可以解出y。这样,就将(p+q) \times (p+q)矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个p×p矩阵以及一个 q×q矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度(计算量)。实际上,这要求矩阵D满足足够好的条件,以使得算法得以成立。

概率论和统计学中的应用[编辑]

假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y ,并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布,其方差矩阵是对称的正定矩阵

V=\left[\begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix}\right].

那么XY给定时的条件方差是矩阵CV中的舒尔补:

\operatorname{var}(X\mid Y) = A-BC^{-1}B^T.

参考来源[编辑]

  1. ^ Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716. 

参见[编辑]