舒尔补

在线性代数与矩阵论中，一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (p+q)×(p+q) 的矩阵 M 被分为 A, B, C, D 四个部分，分别是p×p、p×q、q×p 以及 q×q 的矩阵，也就是说：

$M=\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]$

并且 D 是可逆的矩阵。则 D 在矩阵中的舒尔补是：

$A-BD^{-1}C.$

这是一个 p×p 的矩阵。

舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔，后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过。

背景

舒尔补实际上是对原来的矩阵 M 进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵，其转换矩阵是下三角矩阵：

$L=\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right].$

其中 I_p 表示一个 p×p 的单位矩阵。矩阵 M 右乘转换矩阵 L 之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：

$M\cdot L= \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & D^{-1} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} A-BD^{-1}C & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{matrix}\right].$

因此，矩阵 M 的逆，如果存在的话，可以用 $D^{-1}$ 以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：

$\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}\right]^{-1} = \left[ \begin{matrix} I & 0 \\ -D^{-1}C & I \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} (A-BD^{-1}C)^{-1} & 0 \\ 0 & D^{-1} \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix} I & -BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix}\right]$

$= \left[ \begin{matrix} \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & -\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \\ -D^{-1}C\left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} & D^{-1}+ D^{-1} C \left(A-B D^{-1} C \right)^{-1} B D^{-1} \end{matrix} \right].$

当 p 和 q 都等于1 （即 A、B、C 和 D 都是系数）时，我们可以得到一般的 2 × 2 的矩阵的逆矩阵表达式：

$M^{-1} = \frac{1}{AD-BC} \left[ \begin{matrix} D & -B \\ -C & A \end{matrix}\right]$

这也说明了 $AD-BC$ 是非零的数。

在矩阵方程求解中的应用

舒尔补很自然地可以在如下的方程组求解中发挥作用：

$Ax + By = a$

$Cx + Dy = b$

其中 x 以及 a 是 p 维的列向量，而 y 以及 b 则是 q 维的列向量。 矩阵 A、B、C、D 则同上面假设。将第二个方程左乘上矩阵 $BD^{-1}$ ，并将得到后的方程与第一个相减，就得到：

$(A - BD^{-1} C) x = a - BD^{-1} b.\,$

因此，如果可以知道 D 以及 D 的舒尔补的逆矩阵，就可以解出未知量 x 之后带入第二个方程 $Cx + Dy = b$ 就可以解出 y。这样，就将 $(p+q) \times (p+q)$ 矩阵的求逆问题转化成了分别求解一个 p×p 矩阵以及一个 q×q 矩阵的逆矩阵的问题。这样就大大减低了复杂度（计算量）。实际上，这要求矩阵 D 满足足够好的条件，以使得算法得以成立。

概率论和统计学中的应用

假设有分别属于 Rⁿ 以及 R^m 的随机列向量 X, Y ，并且 R^n+m 中的向量对 (X, Y) 具有多维正态分布，其方差矩阵是对称的正定矩阵

$V=\left[\begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix}\right].$

那么 X 在 Y 给定时的条件方差 是矩阵 C 在 V 中的舒尔补：

$\operatorname{var}(X\mid Y) = A-BC^{-1}B^T.$

参见

• Woodbury 单位矩阵