艾森斯坦判別法

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

艾森斯坦判別法代數的定理,給出了判定整係數多項式不能分解為整係數多項式乘積的充分條件。由高斯定理,這判別法也是多項式在有理數域不可約的充分條件。

艾森斯坦判別法是說:給出下面的整係數多項式

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0

如果存在素數p,使得

  • p不整除an ,但整除其他ai ;
  • p2 不整除a0 ,

那麼f(x) 是不可約的。

例子[编辑]

給了多項式g(x) = 3x4 + 15x2 + 10,試確定它能否分解為有理係數多項式之積。

試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合,考慮素數p = 5。5整除x的係數15和常數項10,但不整除首項3。而且52 = 25不整除10。所以g(x)在有理數域不可約。

有時候不能直接用判別法,或者可以代入y = x + a後再使用。

例如考慮h(x) = x2 + x + 2。這多項式不能直接用判別法,因為沒有素數整除x的係數1。但把h(x)代入為h(x + 3) = x2 + 7x + 14,可立刻看出素數7整除x的係數和常數項,但72 = 49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下:

對素數p,以下多項式在有理數域不可約。

\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1

要使用艾森斯坦判別法,先作代換x = y + 1。新的常數項是p,除首項是1外,其他項的係數是二項式係數{p \choose k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}k大於0,所以可以被p除盡。

初等證明[编辑]

對多項式f(x)取模p,也就是把它的係數映射到域\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}上。這樣它便化為c\,x^n,其中c為非零常數。因為在域上的多項式有唯一分解,f在模p上會分解為單項式。

如果f是在有理數上可約的,那麼會有多項式g, h使得f = g h。從上可知gh取模p分別為d\,x^ke\,x^{n-k},滿足c = d e。因為ghp的常數項為零,這表示gh的常數項均可被p整除,所以f的常數項a0可以被p2整除,與f係數的假設矛盾。因此得證。

更进一步的解释[编辑]

依据牛顿图的理论在其p进制数域,我们考虑一系列点的下凸集。


(0,1), (1, v1), (2, v2), ..., (n − 1, vn-1), (n,0),

其中viai 关于p的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式,对0 < i < n,vi 至少为1v0 =1 vn =0,固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (n,0)的线段,其斜率为−1/n