艾森斯坦整数

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艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。
各种各样的
基本

\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

正數 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^+ \end{smallmatrix}
自然数 \begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}
正整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^+ \end{smallmatrix}
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}
代數數 \begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}
实数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}
複數 \begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}
高斯整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}

负数 \begin{smallmatrix} \mathbb{R}^- \end{smallmatrix}
整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}
负整數 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}^- \end{smallmatrix}
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数 \begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}

延伸

雙複數
四元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}
共四元數
八元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}
超數
上超實數

超复数
十六元數 \begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}
複四元數
大實數
超實數 \begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}
超現實數

其他

对偶数
雙曲複數
序数
質數
同餘
可計算數
阿列夫数

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率 \begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}
 = 3.141592653…
自然對數的底 \begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}
 = 2.718281828…
虛數單位 \begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}
 = \begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}
無窮大 \begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数

z = a + b\omega \,\!

其中ab整数,且

\omega = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3) = e^{1\pi i/3}

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

性质[编辑]

艾森斯坦整数在代数数域Q(ω)中形成了一个代数数交换环。每一个z = a + bω都是首一多项式

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!

的根。特别地,ω满足以下方程:

\omega^2 - \omega + 1 = 0. \,\!

因此,艾森斯坦整数是代数数

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方,由以下的公式给出:

|a+b\omega|^2 = a^2 + ab + b^2. \,\!

因此它总是整数。由于:

4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2,  \,\!

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群,是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是:

{±1, ±ω, ±ω2}

它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数[编辑]

xy是艾森斯坦整数,如果存在某个艾森斯坦整数z,使得y = z x,则我们说x能整除y

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念:一个非可逆元的艾森斯坦整数x是艾森斯坦素数,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次单位根的任何一个。

我们可以证明,任何一个被3除余1的素数都具有形式x2xy+y2,因此可以分解为(xy)(x2y)。因为这样,它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式,因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数a + bω,只要范数a2ab+b2为素数,那么就是一个艾森斯坦素数。实际上,任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式,要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域[编辑]

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域,其范数N由以下的公式给出:

N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!

这是因为:

\begin{align}N(a+b\,\omega)
&=|a+b\,\omega|^2\\
&=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\
&=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\
&=a^2 + ab + b^2\end{align}

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142.
  • Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989.
  • Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
  • Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991.

外部链接[编辑]