艾森斯坦級數

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數學中,艾森斯坦級數是一類可直接表成級數模形式,由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群羅伯特·郎蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數[编辑]

固定整數 k>1。對上半平面上的複數 \tau,定義艾森斯坦級數 G_{2k}


G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.

此級數是上半平面上的全純函數,此外它更是模群 \Gamma := \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) 的權 2k 模形式。換言之,若  a,b,c,d \in \mathbb{Z} 滿足  ad-bc=1,則


G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)

遞迴關係[编辑]

模形式理論中的一個基本事實是:模群 \Gamma 的模形式俱可表為 G_4G_6多項式。作為特例,以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 G_4, G_6 的多項式。

d_k := (2k+3)k!G_{2k+4},遂有下述關係式:

\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}

在此 {n \choose k}二項式係數d_0=3G_4d_1=5G_6

函數 d_k 可以表示魏爾斯特拉斯 \wp 函數:

\wp(z)
=\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!}
=\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}

傅立葉展開[编辑]

q=e^{2\pi i\tau}。由於艾森斯坦級數是模群的模形式,故有傅立葉展開式


G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)

其中的傅立葉係數 c_{2k}


c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}}

此處的 B_n伯努利數\zeta(z)黎曼ζ函數,而 \sigma_p(n)n 的正因數p 次冪和。

G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]
G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]

|q|<1,對 q 之和亦可化成蘭伯特級數

\sum_{n=1}^{\infty} q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^a q^n}{1-q^n}

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數:

E_{2k} := \frac{G_{2k}}{2 \zeta(2k)} = 1 - \frac{4k}{B_{2k}} \sum_{n=1}^\infty \sigma_{2k-1}(n) q^n

拉馬努金公式[编辑]

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式:定義

L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n} = E_2(\tau)
M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n} = E_4(\tau)
N(q)=1-504\sum_{n=1}^\infty \frac {n^5q^n}{1-q^n} = E_6(\tau)

則有

q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}
q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}
q\frac{dN}{dq} = \frac {LN-M^2}{2}

文獻[编辑]

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
  • Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
  • Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.