芝诺悖论

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）（盛年约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是：“阿喀琉斯追乌龟”和“飞矢不动”。這些方法現在可以用微積分（無限）的概念解釋。

两分法悖论

运动是不可能的。

由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。

这裡的“运动”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内，那么悖论就为真，因为此时速度为0。

速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间，但是速度是一个自然界的固有概念，并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述，而不是悖论。

阿喀琉斯悖论

“

动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

”

——亞里士多德，物理學 VI:9, 239b15

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。

譬如说，阿喀琉斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题：$t=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}$。而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰。我们的实数，极限，微积分都建立在实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

飞矢不动悖论

一支飞行的箭是静止的。

由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態

這個悖論的問題在于，「飛行」的運動，是依賴于兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。

度速，在位移相同的情况下，比较所用时间的长短。用的时间短，跑得快；用的时间长，跑得慢。这句话怎理解呢？除了首段的理解，我们继续往下想就变成：物体在任何时刻都是存在与空间中的，物体呆在空间中任一点是有一定时间的。写成公式的形式就是，

Z=1/V=t/s

对于Z我们可以引入物理概念，由于Z等于速度的倒数，我们可以叫度速。那么度速的单位就是“秒每米”，符号是s/m. 用度速的角度解释就是：运动的另一种描述 -度速物体在空间某一点都是静止的，不过静止是有时间的，过一段时间物体就会离开这一点。

游行队伍悖论

首先假設在操場上，在一瞬間（一个最小时间单位）裡，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

　ＡＡＡＡ　观众席Ａ
　ＢＢＢＢ　队列Ｂ・・・向右移动（→）
　ＣＣＣＣ　队列Ｃ・・・向左移动（←）

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

　ＡＡＡＡ
　　ＢＢＢＢ
ＣＣＣＣ

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）裡移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位裡移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自K.克莱茵(K.Klein)《古今数学思想》中译本，BillSmith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

芝諾現象

在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。