芬斯勒流形

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芬斯勒流形(Finsler manifold)或芬斯勒几何(Finsler geometry)由瑞士數學家保羅·芬斯勒(Paul Finsler)在1918年的博士论文中提出。芬斯勒几何是一种没有二次型限制的黎曼几何,与变分学密切相关。芬斯勒几何分為實數芬斯勒几何複數芬斯勒几何,且在生物、工程、物理等领域有广泛应用。

芬斯勒流形是一个在每个切空间有巴拿赫(Banach)範數的微分流形,该巴拿赫范数是位置的光滑函数并满足以下条件:

对M中的每点x,对切空间T_xM中的每一向量v,如下函数 L:T_xM\to R 的二阶导数

L(\bold{w})=\frac{1}{2}\|w\|^2

在v是正定的。

黎曼流形(但不包括伪黎曼流形)是芬斯勒流形的特例。

可微曲线γ的长度由下式给出

\int \left\|\frac{d\gamma}{dt}(t)\right\| dt

注意这是一个重参数化不变量,测地线是长度在变分时取极值的曲线。