莫列波紋

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莫列波紋, 由兩組平行線構成, 其中一組, 相對於另一組, 傾斜了 5°
在鸚鵡羽毛上出現的莫列波紋
兩個格狀柵欄圖形相疊產生的莫列波紋

莫列波紋英语Moiré pattern),又譯為摩尔纹、莫爾條紋、疊紋、水狀波紋,是一種在柵欄狀條紋重疊下所產生的干涉影像。

字源[编辑]

莫列波紋來自法语moiré,是一種紡織品,它的紋路類似於水波。最早這種紡織品是由作成,後來也用棉線或人造纖維來呈現相同的效果。

計算[编辑]

平行圖樣中的摩列[编辑]

幾何手法[编辑]

the patterns are superimposed in the mid-width of the figure
透過重疊兩相似圖樣(轉動α度)得到之摩列

考慮兩組由平行且等距之線構成的圖樣。第一個圖樣線距為 p,第二個線距則為 p+\delta p,並有 0 < \delta < 1

假如圖樣的線重疊於左側,則線之間的位移隨著往右而加大。給定數值支線以後,圖樣相反了:第二個圖樣之線位於第一個圖樣線之間。從遠距離觀察,當線重疊時看起來空白,線『倒反』時看起來暗。 The middle of the first dark zone is when the shift is equal to \frac{p}{2}. 第二個圖樣第nth 線與第一圖樣第nth 線相比,移動了 n \cdot \delta p。 於是,第一暗區的中央為: n \cdot \delta p = \frac{p}{2}

n = \frac{p}{2 \delta p}.

一暗區與一亮區之間的距離 d

d = n \cdot p = \frac{p^2}{2 \delta p}

兩暗區(同時也是兩亮區)之間距離

2d = \frac{p^2}{\delta p}

由此公式,易見 : 線距愈大,亮區與暗區之間距離越大。 線距之差 \delta p愈大,亮區與暗區愈近。

當然,當 \delta p = \frac{p}{2},無例外的可得一均勻灰階圖案。


數學方程手法[编辑]

重疊兩格紋(上,中)得到摩列波紋 (底)
於此節中我們將給出一個數學上的實例,與一種(出於許多種) 得出圖樣與摩列效應可以數學表示的方法。

圖案的可見性取決於其基底或介質,可能為 不透明 (如紙本) 或透明 (如於塑膠片上)。 為求討論,我們可假設兩原始圖樣皆為白紙灰階,且其列印處之不透明度由 0 (白) 至 1 (黑)之範圍給出。( 1/2 表示純灰) 任何小於0或大於1之灰階皆 "無法列印".

我們同時選擇取同位置所有圖案透明度之平均為重疊後圖案之透明度,即,和之一半,不大於1。

考慮兩幾乎一樣,正弦相關之灰階圖樣重疊“列印”。先將其一印於紙上,第二個重疊於上且座標軸對齊。我們可以

f = \frac{1 + \sin(k x)}{2}

表示紙面上對一給定座標軸(舉例,x軸),對距離的正不透明度方程。


1的存在使得方程恆正,而除以2避免方程結果大於1。

k為強度週期/單位距離, 表示圖樣灰階強度的週期變動。因正弦方程對 2 \pi有循環,當 k \Delta x = 2 \pi,或 \Delta x = \frac{2 \pi}{k}時,可得每強度週期(波長)之距離增長。

考慮以下週期變動有細微差異的兩圖樣:

f_1 = \frac{1 + \sin(k_1 x)}{2}
f_2 = \frac{1 + \sin(k_2 x)}{2}

使得 k_1 \approx k_2.

二方程之平均值,同時也表示重疊圖像,如下給出:

f_3 = \frac{f_1 + f_2}{2}
= \frac12 + \frac{\sin(k_1 x) + \sin(k_2 x)}{4}
= \frac{1 + \sin(A x) \cos(B x)}{2}

易見

A = \frac{k_1 + k_2}{2}

B = \frac{k_1 - k_2}{2}.

此方程平均, f_3,明顯位於 [0,1]之間。有鑒於 Ak_1k_2之平均且近於兩者,摩列效應可 distinctively demonstrated by the sinusoidal envelope "拍頻"方程 \cos(B x), 其週期變動為 k_1k_2 之差的一半( "慢"許多).

其他常見一維摩列效應包括當兩幾乎一樣之純音同時發聲時所產生的拍頻。此即在一維時間下聲音的摩列效應:原始的兩因仍在,但聽者只接收到兩者節拍之平均值與兩者頻率差之半。

本節總結:

旋轉圖樣[编辑]

考慮兩相同線距 p之圖樣,但有第二個圖樣轉動 \alpha度。從遠處看,我們可見到暗紋與亮紋:亮紋相當於節線。即,通過兩圖樣交疊處的線。

考慮"網"之單位格,易見單位格 為 菱形: 其為四邊邊長 d = \frac{p}{\sin \alpha}平行四邊形; (我們可得一斜邊為 d三角形\alpha 角之對邊為 p).

"網"單位格; "ligne claire" , "亮紋"
改變角度之效應

亮紋相當於菱形之短對角線。因對角線為鄰邊之 垂直平分線 ,易見亮紋與垂直於各圖案的線構成一等同於 \frac{\alpha}{2} 的角度。

更進一步,兩亮紋之間距離為 D,長對角線之一半。長對角線唯一直角三角形之直角對邊,且直角鄰邊為 d (1 + \cos \alpha)p。 由 畢氏定理

(2 D)^2 = d^2 (1 + \cos \alpha)^2 + p^2

id est

(2D)^2 = \frac{p^2}{\sin^2 \alpha}(1+ \cos \alpha)^2 + p^2
= p^2 \cdot \left ( \frac{(1 + \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} + 1\right )

從遠處看,

(2D)^2 = 2 p^2 \cdot \frac{1+\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} or D = \frac{p}{2} / \sin\frac{\alpha}{2}.
曲線上的效應

\alpha 極小 (\alpha < \frac{\pi}{6}), 可做以下近似:

\sin \alpha \approx \alpha
\cos \alpha \approx 1

於是

D \approx \frac{p}{\alpha}.

可見, \alpha愈小,亮紋愈遠;當兩圖樣平行時(\alpha = 0),亮紋間距離為 "無限" (無亮紋)。

另外有給出 \alpha的兩個方法:

\alpha \approx \frac{p}{D}

如果選擇測量角度,最終的誤差正比於測量誤差。選擇測量空間關係,誤差正比於空間關係的倒數。因此,對於小角度,測量空間較為理想。


意義與應用[编辑]

列印全彩圖案[编辑]

The product of two "beat tracks" of slightly different speeds overlaid, producing an audible moiré pattern; if the beats of one track correspond to where in space a black dot or line exists and the beats of the other track correspond to the points in space where a camera is sampling light, because the frequencies are not exactly the same and aligned perfectly together, beats (or samples) will align closely at some moments in time and far apart at other times. The closer together beats are, the darker it is at that spot; the farther apart, the lighter. The result is periodic in the same way as a graphic moiré pattern. See: phase (music).

於 [圖像藝術]] 與 印前, 列印全彩圖像需借助半色調螢幕的重疊。有些無法避免的莫列波紋是可接受的,因其 十分"緊緻";即,其空間頻率高到難以察覺。 有些印前作業藉由選定角度與半色調頻率來避免。莫列波紋的可見性不易預測,相同的螢幕對不同影像,成效不同。

製造 業中, 波紋被用來研究材料的微觀 形變


電視螢幕與照片[编辑]

鸚鵡羽毛上可見強莫列 (全彩影像中更為明顯)
透過舊金山動物園的籠子

當電視中人物穿戴有特定圖樣或紋路的服裝拾獲產生莫列波紋。移動時莫列波紋十分易見。也是因為如此,主播或其他相關從業人員皆會注意,避免穿著造成效應的服裝。

數位相機拍攝[電視|電視]]螢幕也經常有莫列波紋。電視螢幕與數位相機皆用水平掃描線捕捉影像,因此導致莫列效應。 將數位相機對電視做30度傾斜可避免效應。

海洋探勘[编辑]

莫列效應也經常用於海岸警示 (通常有關管線或纜線).[1] 莫列效應會產生指向危險的箭頭,當指示器經過危險處時,警示的箭頭在轉換方向前會先呈垂直帶狀。(50°51′21.63″N 1°19′44.77″W / 50.8560083°N 1.3291028°W / 50.8560083; -1.3291028).

紙鈔[编辑]

許多紙鈔採用波浪或螺線設計,以利用數位掃瞄器產生莫列圖樣的傾向。


參考[编辑]

  1. ^ Alexander Trabas. Beacons. Online-list-of-lights.info. [2012-10-30]. 

外部連結[编辑]