莫雷拉定理

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莫雷拉定理是一个用来判断函数是否全纯的定理。

如果f是一个连续的复值函数,定义在复平面上的开集D内,且对于所有D内的闭曲线C,都满足

\oint_C f(z)\,dz = 0

fD内是全纯的。

莫雷拉定理的假设等于是说fD内具有原函数。

该定理的逆命题不一定成立。全纯函数在定义域内并不一定有原函数,除非加上更多条件。例如,柯西积分定理说明全纯函数沿着一条闭曲线路径积分为零,只要函数的定义域是单连通的。

证明[编辑]

莫雷拉定理有一个相对简单的证明。不失一般性,我们可以假设D连通的。固定D内的一个点a,并定义D内的一个复值函数F

F(b) = \int_a^b f(z)\,dz.\,

这个积分可以是沿着D内从ab的任何一条路径。函数F是定义良好的,因为根据假设,f沿着从ab的任何两条曲线的积分一定是相等的。根据微积分基本定理,可知F导数f

F'(z) = f(z).\,

特别地,函数F是全纯的。则f也一定是全纯的,因为它是全纯函数的导数。

应用[编辑]

一致极限[编辑]

假设f1f2, ...是一个全纯函数的序列,在开圆盘内一致收敛于连续函数f。根据柯西积分定理,可知對每個n,順著任意圓盤內的閉曲線C

\oint_C f_n(z)\,dz = 0

而一致收斂則意指,對每個閉曲線C

\oint_C f(z)\,dz = \lim_{n\rightarrow\infty} \oint_C f_n(z)\,dz = 0

,因此根据莫雷拉定理,f 一定是全纯函数。這個事實可以用來證明對每一個開集Ω ⊆ C,由所有有界解析函數u : Ω → C 所組成的集合A(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。

无穷级数和积分[编辑]

莫雷拉定理可以用于证明由级数或积分所定义的函数的解析性,例如黎曼ζ函数

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

伽玛函数

\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.

参考文献[编辑]

  • Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill, January 1, 1979, ISBN 978-0070006577 
  • Conway, John B., Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer, April 1, 2001, ISBN 978-3540903284 
  • G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (2) 19 (1886) 304–307
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, May 1, 1986, ISBN 978-0070542341 

外部链接[编辑]