華林問題

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华林问题数论中的问题之一。1770年,爱德华·华林猜想,对于每个非1的正整数,皆存在正整数g(k),使得每个正整数都可以表示为g(k)个k次方数之和。[1]

研究进展[编辑]

1909年,大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年,U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而,尽管g(k)的存在性已被证明,人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。

1770年,拉格朗日证明了拉格朗日四平方和定理,指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。1859年, 刘维尔证明了g(4)<=53;哈代李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192;1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59;1964年陈景润证明了g(5)=37。[1]

事实上,莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想:g (k) = 2^k + [(3/2)^k] - 2("[q]"表示"q"的整数部分)。至1990年,对于6<k<471600000此式已经被计算机验证为正确。

更强的问题[编辑]

由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况,人们提出了一个更强的问题,求对于每个充分大的正整数,可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢,至今G(3)仍无法确定。

参考资料[编辑]