華林問題

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华林问题数论中的问题之一。1770年,爱德华·华林猜想,对于每个非1的正整数,皆存在正整数g(k),使得每个正整数都可以表示为g(k)个k次方数之和。[1]

起因[编辑]

 数论中有许多问题是关于正整数的表示方法的,就是给你一个正整数,能否表示某类数的和,最简单的是一个偶数可以表示成为两个奇数的和。这个问题太浅显了。

如果把奇数换成素数,就十分困难,因为素数一稀少二混乱。这个就是大家知道的哥德巴赫猜想。 特殊类型的数,除了奇数偶数,素数之外,还有平方数,立方数,四次方数,....。

   一个容易想到的是:任何正整数是否可以表示成为两个平方数之和?例如2=1^{2}+1^{2}4=2^{2},...9=3^{2}=1^{2}+2^{2}+2^{2}15=1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}

两个平方和不行,三个平方和也不行,从上面例子看,四个平方和是否行呢? 这个问题看起来很简单,其实很难。这个问题在巴夏公元三世纪数学家丢番图首先总结出来,十八世纪数学家欧拉没有能够证明出来。 第一个证明的是拉格朗日,他的证明用了欧拉的一个公式: (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2})=x^{2}+y^{2}+z^{2}+v^{2}。 ......。

华林猜想[编辑]

由平方数自然想到立方数,四次方数.....。但是,方幂越高,这样的方幂数就越少,因此,是否能够用有限个来表示每一个正整数就成问题。 1770年,华林发表了【代数沉思录】,其中说,每一个正整数至多是9个立方数之和;至多是19个四次方之和。还猜想,每一个正整数都是可以表示成为 至多r个k次幂之和,其中r依赖于k。

过程[编辑]

   这个问题发表以后,许多人进行了验证,一个正整数表示成为立方和至少需要9个立方数,第一个需要9个立方数的是23,第二个是239,但是,对于较大的

正整数往往只需要7个或者6个立方数。这个就促使人们把所有正整数区分开来:我们通常用g(k)表示每一个正整数至多可以表示为g(k) 个k次方数之和。由g(k)定义知:华林问题就是:

g(2)=4g(3)=9g(4)=19g(5)=37,....。 第一个证明超越数存在的刘维尔证明了g(4)≤53,他的想法很简单,借助一个恒等式:

6n^{2}=6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{2}= \sum_{i,j=1}^4\left(x_i+y_j\right)^4+\sum_{i,j=1}^4\left(x_i-y_j\right)^4

因为任何一个n可以表示成为四个平方数之和,所有6n^{2}形数可以表示成为12个四次方之和。 ....。一直到20世纪初,53改进为38.。

= 研究进展=[编辑]

1909年,大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年,U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而,尽管g(k)的存在性已被证明,人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。

1770年,拉格朗日证明了拉格朗日四平方和定理,指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。1859年, 刘维尔证明了g(4)<=53;哈代李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192;1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59;1964年陈景润证明了g(5)=37。[1]

事实上,莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想:g (k) = 2^k + [(3/2)^k] - 2("[q]"表示"q"的整数部分)。至1990年,对于6<k<471600000此式已经被计算机验证为正确。

更强的问题[编辑]

由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况,人们提出了一个更强的问题,求对于每个充分大的正整数,可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢,至今G(3)仍无法确定。

问题还有不少[编辑]

华林-哥德巴赫问题[编辑]

假如表示正整数的平方数,立方数,四次方数,...限制为素数的平方,立方,四次方,...,那么问题会更加困难。已经知道,每一个充分大的奇数可以等于9个素数立方之和。

表法数问题[编辑]

任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。更加进一步问,给你一个正整数,表示成为四个平方数的不同表示法有多少种?对于四平方和问题,早已解决了,但是,对于立方和,四次方和,...仍然非常困难。

不限于正整数[编辑]

考虑用有理数的方幂和来表示正有理数。

参考资料[编辑]