華林問題

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华林问题数论中的问题之一。1770年,爱德华·华林猜想,对于每个非1的正整数k,皆存在正整数g(k),使得每个正整数都可以表示为至多g(k)个k次方数(即正整數的k次方)之和。

與四平方和定理之關係[编辑]

在三世纪時,数学家丢番图首先提出「是否每一個正整數都是四個平方數之和」的問題。1730年,欧拉開始研究該問題,但未得出證明。[1]

第一个給出完整证明的是拉格朗日,他的证明用了欧拉的一个公式:

(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2 +(ay-bx+cw-dz)^2 + (az-bw-cx+dy)^2 + (aw+bz-cy-dx)^2

後來歐拉也給出另一證明。[1]

华林猜想[编辑]

1770年,华林发表了《代数沉思录》(Meditationes Algebraicae),其中说,每一个正整数至多是9个立方数之和;至多是19个四次方之和[1]。还猜想,每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次幂之和,其中r依赖于k。

研究进展[编辑]

1909年,大卫·希尔伯特首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年,U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而,尽管g(k)的存在性已被证明,人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。

1770年,拉格朗日证明了四平方和定理,指出g(2)=4。1909年亚瑟·韦伊费列治证明了g(3)=9。

1859年,刘维尔证明了g(4)<=53,他的想法是借助一个恒等式(Liouville polynomial identity):

6n^2=6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j }\left(x_i+y_j\right)^4+\sum_{i<j}\left(x_i-y_j\right)^4

後來哈代李特尔伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉苏布拉玛尼安证明了g(4)=19。1896年马力特得到g(5)<=192;1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59;1964年陈景润证明了g(5)=37。[2]

事实上,莱昂哈德·欧拉之子J.A.欧拉猜想:g (k) = 2^k + \left[\left(\frac{3}{2}\right)^k\right] - 2("[q]"表示"q"的整数部分)。至1990年,对于6<k<471600000此式已经被计算机验证为正确。[3]

更强的问题[编辑]

由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况[來源請求],人们提出了一个更强的问题,求对于每个充分大的正整数,可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢,至今G(3)仍无法确定。

其他推廣[编辑]

华林-哥德巴赫问题[编辑]

陳述:對於任何一個正整數n,是否存在一個數k,使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和?

此問題在1938年已被華羅庚證明成立。

表法数问题[编辑]

任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。进一步,给定一个正整数,表示成为四个平方数的不同表示法有多少种?這問題已由雅可比給出了解答。

但是,对于立方和,四次方和等等的情況,仍然非常困难。[來源請求]

不限于正整数[编辑]

考虑用有理数的方幂和来表示正有理数。

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 吳振奎. 幾個與“形數”有關的問題. 數學傳播. 2005-03, 29 (1): 64–74 [2015-02-15]. 
  2. ^ MathWorldWaring's Problem 的资料,作者:埃里克·韦斯坦因
  3. ^ JM Kubina, MC Wunderlich. Extending Waring's conjecture to 471,600,000. Mathematics of Computation. 1, (55): 815–820 [2015-02-14]. doi:10.1090/S0025-5718-1990-1035936-6.