萊維過程

莱维过程（Lévy process）源于法国数学家保羅·皮埃爾·萊維，是连续时间上的一种拥有独立稳定增量的左连续右极限(Càdlàg)的随机过程。著名的例子有Wiener过程和泊松过程。

定义

一个随机过程$X=\{X_t:t \geq 0\}$ 是一个莱维过程如果符合以下条件：

1. $X_0=0 \,$ 几乎确定。
2. 独立增量：对任何 $0 \leq t_1 < t_2<\cdots <t_n <\infty$, $X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$相互独立。
3. 稳定增量：对任何 $s<t \,$, $X_t-X_s \,$ 与 $X_{t-s} \,$ 有相同分布
4. $t \mapsto X_t$ is 几乎确定 右连左极.

性质

独立增量

设 X_t 是一个连续时间上的随机过程。 也就是说，对于任何固定的t ≥ 0，X_t是一个随机变量。 过程的增量 为差值 X_s − X_t （任意的时间t < s）。 独立增量 意味着对于任何时间s > t > u > v ，X_s − X_t 和 X_u − X_v 相独立。

稳定增量

如果增量 X_s − X_t 的分布只依赖于时间间隔 s − t ，则称增量是稳定的。

例如，对于维纳过程，增量X_s − X_t 服从均值为0，方差为 s − t 的正态分布。

对于泊松过程，增量X_s − X_t 服从指数为s − t 的泊松分布

可分性

Lévy过程与无限可分分布有关：

• 增量的分布是无穷可分的。即对任意给定的 n，X_t的分布可以表示为n个与X_t/n同分布的随机变量的和的分布。
• 反之，对于每个无穷可分的分布，可以构造出一个与之对应的Lévy过程。

矩

当Lévy过程的 n 阶矩 $\mu_n(t) = E(X_t^n)$ 存在有限时， 它满足二项式等式：

$\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).$

例子

Wiener过程

定义
X 为 维纳过程 （或者标准布朗运动） 当且仅当

1. 对任何 $\scriptstyle t\geq 0$， 随机变量 $X_t$ 服从正态分布 $\scriptstyle \mathcal N(0,t)$,
2. 它的轨迹是几乎处处连续的；即， 对于几乎所有的事件$\scriptstyle \omega$，关于 t 的函数 $\scriptstyle \omega \mapsto X_t(\omega)$ 是连续的。

性质

• 它的傅立叶变换为 :

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right)$

其他性质可参考词条布朗运动。

复合Poisson过程

定义
X 为一个实参数为$\scriptstyle c\geq 0$，测度为$\scriptstyle \nu$ 复合泊松过程 当且仅当它的傅立叶变换为：

$\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right)$.

性质

• 参数为 $\scriptstyle c\geq 0$ ，测度为 Dirac测度$\scriptstyle \nu=\delta_1$ 的复合泊松过程为 泊松过程.
• 设 N 为参数为 $\scriptstyle c\geq 0$ 的泊松过程，$\scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k$ 为一个随机游走 （ $\scriptstyle Y_1$的分布为$\scriptstyle \nu$），那么 $\scriptstyle X_t=S_{N_t}$ 为一个复合泊松过程。

参考来源

翻译自英语、法语版维基词条。

Ken-iti Sato. Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Cambridge University Press, 1999