藤村幸三郎的三角形問題

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此問題使用三條、四條與五條筆直線段之解。

藤村幸三郎的三角形問題(Kobon triangle problem)是一個離散幾何上未解決的問題,該問題首先由藤村幸三郎(Kobon Fujimura)提出。這個問題問說「對k條線進行排列,則在此直線排列(Arrangement of lines)中,以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形最多有多少個?」。一些此問題的變體問的是在射影平面上的狀況,且要求其中的三角形不能為該直線排列中的各線給穿過。[1]

田村三郎證明說此問題的最大整數解之值不超過\frac{k(k-2)}{3},這為「對k條線進行排列,則在此直線排列(Arrangement of lines)中,以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」解提供了一個上界。[2]

在2007年,約翰尼斯‧巴德(Johannes Bader)和吉萊‧克雷蒙(Gilles Clément)發現了一個較小的上界,他們證明說當k除以6的餘數為0或2時,該k值對此問題答案的上界會比田村氏所給出的上界要來得小。[3]在這些k值中,其上界值會為田村氏給出的上界值減一。

此問題的「完美解」(與理論最大值相合的已知最佳解)在k = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的狀況下是已求出的[4] ;在k = 10, 11 和 12的狀況下,目前已知的最佳解比其理論上界要小一個值。

藉由使用佛吉(D. Forge)和羅米瑞茲─阿爾豐森(J. L. Ramirez Alfonsin)兩氏提供的方法[1][5],在已知k0條線狀況下的完美解的狀況下,亦可知此問題對形如k_{n+1} = 2\cdot k_{n} - 1,\!\,的各數字ki的(完美)解,像例如當k0 = 3時,在k = 3,5,9,17,33,65,...等的狀況下,「對k條線進行排列,則在此直線排列(Arrangement of lines)中,以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」亦可求出。


k 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 OEIS
田村氏的上界 1 2 5 8 11 16 21 26 33 40 47 56 65 74 85 96 107 120 133 A032765
克雷蒙與巴德二氏的上界 1 2 5 7 11 15 21 26 33 39 47 55 65 74 85 95 107 119 133 -
已知的最佳解 1 2 5 7 11 15 21 25 32 38 47 53 65 72 85 93 104 115 130 A006066

範例[编辑]

參照[编辑]

外部連結[编辑]