虛數單位

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

$\ldots$

$i^{-3} = i\,\!$

$i^{-2} = -1\,\!$

$i^{-1} = -i\,\!$

$i^0 = 1\,\!$

$i^1 = i\,\!$

$i^2 = -1\,\!$

$i^3 = -i\,\!$

$i^4 = 1\,\!$

$i^5 = i\,\!$

$i^6 = -1\,\!$

$\ldots$

在數學、物理及工程學中虛數單位標記為 $i\,\!$，在电机工程和相关领域中则标记为$j\,$，这是为了避免与电流（记为$i(t)\,$或$i\,$）混淆。虛數單位的發明使實數系統 $\mathbb{R}\,\!$ 能夠延伸至复数系統 $\mathbb{C}\,\!$ 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如方程式 $x^2+1=0\,\!$ 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式（參閱代數基本定理）都有解。

定義

虛數單位 $i\,\!$ 定義為二次方程式 $x^2 + 1 = 0\,\!$ 的兩個解答中的一個解答。這方程式又可等價表達為：

$x^2 = - 1\,\!$ 。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 $i\,\!$ 。很重要的一點是，$i\,\!$ 是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

$i = \sqrt{-1}\,$

$i = \sqrt{-1}\,$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為 $-1\,=i*i=\sqrt{-1}*\sqrt{-1}=\sqrt{-1*-1}=\sqrt{1}=1\,$，所以-1不等於1。

但請注意：$\sqrt{a*b}=\sqrt{a}*\sqrt{b}\,$ 成立的條件有a,b不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設 $i\,\!$ 是一個未知數，然後依照 $i\,\!$ 的定義，替代任何 $i^2\,\!$ 的出現為 $- 1\,\!$ 。 $i\,\!$ 的更高整數冪數也可以替代為 $- i\,\!$ ，$1\,\!$ ，或 $i\,\!$，根據下述方程式：

$i^3 = i^2 i = ( - 1) i = - i \,\!$ ，

$i^4 = i^3 i = ( - i) i = - (i^2) = - ( - 1) = 1 \,\!$ ，

$i^5 = i^4 i = (1) i = i \,\!$ 。

一般地，有以下的公式：

$i^{4n} = 1\,$

$i^{4n+1} = i\,$

$i^{4n+2} = -1\,$

$i^{4n+3} = -i.\,$

$i^n = i^{n \bmod 4}\,$

其中mod 4表示被4除的余数。

$i^{7321}\,$的計算方法舉例（英文視頻）

i和−i

数表 — 整数 數表 — 高斯整數 << -i 0 i 2i 3i >>
小写	虛數單位
大写
二进制	1×$i$
八进制	1×$i$
十六进制	1×$i$

方程$x^2 = - 1\,\!$有两个不同的解，它们都是有效的，且互为相反数和倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解$i$，那么−$i$（不等于$i$）也是一个解，由于这个方程是$i$的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为$i$，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然−$i$和$i$在数量上不是相等的（它们互为相反数），但是$i$和−$i$之间没有质量上的区别（−1和+1就不是这样的）。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的+$i$换成−$i$，而把−$i$换成−(−$i$) = +$i$，那么所有的事实和定理都依然是正确的。

正当的使用

虚数单位有时记为$\sqrt{-1}$。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立：

$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1$    （不正确）。

公式$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$仅对于非负的实数$a$和$b$才成立。

为了避免这种错误，尽量不要用平方根来表示虚数。例如，我们不应使用$\sqrt{-7}$，而应使用$\sqrt{7}i$。

i的运算

许多实数的运算都可以推广到$i$，例如平方根、冪、对数和三角函数。

i的平方根为：

$\pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i).$

这是因为：

$\left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right)^2 \$	$= \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \$
	$= (\pm 1)^2 \frac{1}{2} (1 + i)(1 + i) \$
	$= \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \quad \quad \quad (i^2 = -1) \$
	$= \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2} \$
	$= i. \$

一个数的$ni$次方为：

$\!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)).$

一个数的$ni$^th次方根为：

$\!\ \sqrt[ni]{x} = \cos(\ln(\sqrt[n]{x})) - i \sin(\ln(\sqrt[n]{x})).$

以i为底的对数为：

$\log_i(x) = {{2 \ln(x)} \over i\pi}.$

$i$ 的余弦是一个实数：

$\cos(i) = \cosh(1) = {{e + 1/e} \over 2} = {{e^2 + 1} \over 2e} = 1.54308064.$

$i$ 的正弦是虚数：

$\sin(i) = \sinh(1) \, i = {{e - 1/e} \over 2} \, i = {{e^2 - 1} \over 2e} \, i = 1.17520119 \, i.$

在程式語言

• 大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
• 在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
• 在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。

参见

• 虚数
• 复平面
• 单位根

参考文献

• Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

• 欧拉对多项式的复数根的研究
• i作為-1的平方根（英文視頻）