蛇引理

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同調代數中,蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具,此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態

敘述[编辑]

考慮一阿貝爾範疇\mathcal{A}(例如阿貝爾群的範疇)中的交換圖

SnakeLemma01.png

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫a, b, c的核與上核的正合序列:

\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c

此外,若f單射,則\ker a \to \ker b亦然;若g滿射,則\mathrm{coker} b \to \mathrm{coker} c亦然。

引蛇出洞[编辑]

為了理解蛇引理的由來,觀察下圖:

SnakeLemma03.png

並注意到:引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連接同態[编辑]

核間的同態與上核間的同態很容易構造,它們由該圖的交換性自然導出,正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態d及序列在該處的正合性。

對於範疇的情形,同態d可如是構造:

選定x \in \ker c,並視之為C的元素;由於g是滿射,存在y \in B滿足g(y)=x。由圖的交換性,我們有

g(b(y)) = c(g(y)) = c(x) = 0(因為x \in \ker c

於是b(y) \in \ker g。由於底部的橫列正合,存在z \in A使得f(z)=b(y)。置d(x) := z + \mathrm{im}(a)。今須驗證d是明確定義的,即d(x)不依賴y, z之選取;此外尚須驗證它是個同態,及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證,即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形,可利用核與上核的泛性;此外也能使用Mitchell嵌入定理,此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環RR-模範疇。

函子性[编辑]

在應用上,我們常常需要長正合列的「函子性」或曰「自然性」(就自然變換意義言之);各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

交換圖

commutative diagram with exact rows

的橫列均為正合,則可利用蛇引理兩次,一次在「前」一次在「後」,產生兩條長正合序列;它們經由以下交換圖相連繫:

commutative diagram with exact rows

文獻[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X