行空间与列空间

有实数元素的m × n 矩阵的行空间是Rⁿ的由这个矩阵的行向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩，最大为min(m,n)。

有实数元素的m × n 矩阵的列空间是R^m的由这个矩阵的列向量生成的子空间。它的维度等于矩阵的秩，最大为min(m,n)。

如果把矩阵当作从Rⁿ到R^m的线性变换，则矩阵的列空间等于这个线性变换的像。

矩阵A的列向量是所有A的纵列的线性组合。如果A = [a₁, ...., a_n]，则Col A = Span {a₁, ...., a_n}。

行空间的概念推广到了在任何域上的矩阵，特别是复数域C。

在直觉上，给定一个矩阵A，矩阵A在向量x上的动作返回A的行向量经由x加权的一个线性组合，另外一种理解是：（1）首先投影x到A的行空间，（2）进行可逆的变换，（3）把结果向量y放置到A的列空间中。所以结果的 y =A x必定居留在A的列空间中。

例子

给定矩阵J:

$J = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 & 2\\ -1 & -2 & 1 & 0 & 5\\ 1 & 6 & 2 & 2 & 2\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 \end{bmatrix}$

横行是 r₁ = (2,4,1,3,2), r₂ = (−1,−2,1,0,5), r₃ = (1,6,2,2,2), r₄ = (3,6,2,5,1)。 结果的J的行空间是{ r₁, r₂, r₃, r₄ } 张成的R⁵的子空间。因为这4个行向量是线性无关的，行空间是4维的。此外，在这种情况下，可以被看出它们都正交于向量n = (6,−1,4,−4,0)，所以可以推出行空间由正交于n的所有R⁵中的向量组成。

参见

• 零空间。

外部链接

• MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace at Google Video, from MIT OpenCourseWare