衍射

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计算机生成的正方形孔衍射强度图样

双缝衍射图样的产生原理

双缝衍射图样的计算机模拟

研究发现，衍射是蜘蛛网产生特殊颜色的原因之一。

衍射（英语：diffraction）是指波遇到狭缝等障碍物时，绕过障碍物发散传播的物理现象。意大利科学家弗朗西斯·玛丽亚·格里马第（Francesco Maria Grimaldi）首次精确观察并记录了衍射现象，并首次使用了“衍射”这一术语，他的研究成果在1665年被发表。在经典物理学中，波在穿过狭缝、小孔之类的结构后能发生明显的发散传播，当入射波的波长与类似狭缝的障碍物的尺度差不多时，这一现象尤其明显。当光波穿过折射率不均匀的介质时，或当声波穿过声阻抗不均匀的介质时，也会发生类似的效应。所有的波都能够发生衍射，包括声波、水波、电磁波（例如可见光、X射线和无线电波等）。与原子尺度接近的物质的波动性相对明显，因此这些物质在满足条件时也能表现出较为明显的衍射现象，这些现象可以通过量子力学进行研究。

美国物理学家、诺贝尔物理学奖得主理查德·费曼（Richard Feynman）指出：

“

没有人能够令人满意地定义干涉和衍射的区别。这只是术语用途的问题，其实二者在物理上并没有什么特别的、重要的区别。

”

他还提到，如果只有少数的波源（例如两个的时候），我们称这现象为“干涉”，例如我们称杨氏双缝实验实验中双缝所产生的两束光源产生了干涉现象。而当大量入射波存在时，对应的过程被称作是“衍射”。

尽管波遇到类似狭缝时发生衍射是普遍的现象，但是当波的波长和衍射物体尺度差不多时，衍射现象最为显著。如果障碍物具有多个密集分布的孔隙，就会造成较为复杂的衍射强度分布图样。这是不同区域的波传播以不同的路径传播到观察者的位置，发生的波的重叠造成的。

衍射的形式还可以描述有限尺度的波在自由空间的传播情况。例如，激光束的发散、雷达天线的波束形状以及超声波传感器的视野范围都可以利用衍射方程来加以研究。

示例

图示为温泉上方水蒸气中的光环现象。光环是一种光波被水气或尺寸不均匀的小水滴反向散射到其波源的光学现象，整个过程包含了衍射、反射和折射

衍射效应在日常生活中并不罕见。许多肉眼可察觉的衍射实例都与光有关，例如，CD或DVD光盘上紧密排列的轨道相当于衍射光栅的作用。当人以一定的角度观察时，就可以看到这些轨道能够使光表现出类似彩虹的图样。工程上制造衍射光栅的基本原理与之类似，并且能够满足产生各种衍射图样的要求。信用卡的全息摄影技术也是衍射的应用实例之一。大气层是由微小粒子组成的，因此它能够使光源（例如太阳或者月亮）周围看似产生了明亮的可见光环，这也是由于光在经过大气层时发生了衍射的缘故。如果在固体边缘使用紧凑光源，则它能够在其边缘形成类似镶边的图样。此外，当激光照射到粗糙的光学界面上时，也能够发生衍射现象。上述所有例子都是光具有波动性的结果。

衍射是于一切波的固有属性。即使是宏观的海浪，在防波堤或其他障碍物附近也能够发生衍射。此外，声波在障碍物边缘发生衍射，也是人站在障碍物（例如墙壁、树木）后面仍然能够听到声音的原因之一。不过，衍射也为照相机、望远镜和显微镜等光学仪器的的分辨率设定了一定的限制。

历史

光的衍射效应最早是由格里马第发现、描述，他也是“衍射”一词的创始人。这个词源于拉丁语词汇diffringere，意为“成为碎片”，即波原来的传播方向被“打碎”、发散至不同的方向。格里马第观察到的现象直到1665年才被发表，这时他已经去世。英国物理学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对这些现象进行了研究，他认为光线发生了弯曲。苏格兰数学家、天文学家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory，1638-1675）在鸟的羽毛处观察到了阳光在羽毛缝间产生的衍射现象，这相当于第一个被发现的衍射光栅。1803年，托马斯·杨（Thomas Young）进行了一项非常著名的实验，这项实验展示了两条紧密相邻的狭缝造成的干涉现象，后人称之为“双缝实验”。在这个实验中，一束光照射到具有紧挨的两条狭缝的遮光挡板上，当光穿过狭缝并照射到挡板后面的光屏上，可以产生明暗相间的条纹。他把这一现象归因于两狭缝的光束发散后形成的干涉，并进一步推测光一定具有波动的性质。奥古斯丁·让·菲涅耳（Augustin Jean Fresnel）则对衍射做了更多权威的计算研究，他的结果分别于1815年和1818年被发表，他的研究为克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）发展的光的波动理论提供了很大的支持，他与杨的理论共同反驳了牛顿关于光是粒子的理论。

机制

圆状水波槽中的单缝衍射图样

衍射是否发生与波传播的路径有关，可以用惠更斯－菲涅耳原理和波的叠加原理进行描述。可以通过以下的方式来形象地描述波的传播：把波前的每一点考虑为次波（球面波）的点波源。则随后点的波位移等于这些次波的和。这些波的和取决于其中每一个波的相对相位以及振幅，所以它们叠加之后的振幅最小等于0（相互完全抵消），最大等于所有次波振幅的代数和。这样，衍射图样通常具有一系列明暗条纹（分别对应振幅的最大值和最小值）。

有许多分析模型可以用于计算波的衍射，包括从波动方程推导出的菲涅耳－基尔霍夫衍射公式（Kirchhoff's diffraction formula）、适用于远场衍射近似计算的夫琅和费衍射模型以及适用于近场衍射近似计算的菲涅耳衍射模型。大多数情况，获得严格的解析解较为困难，不过可以通过有限元分析和边界元分析方法来求得数值解。

考虑独立次波波源的分布情况，特别是当相位差等于波相互抵消周期的一半时的情况，有望获得关于许多衍射的定性理解。

如果实际情况能够简化为二维问题，则对于衍射的描述将得以简化。例如，水波就是二维的波，因为波只在水平面上传播。对于光波，如果它遇到的衍射物体在某一个方向的尺度远大于光的波长，那么这个方向的衍射将不太显著，在分析计算时可以忽略而不致影响结果。例如，光穿过圆孔时，则必须完整地考虑三维方向光的传播性质。

光的衍射

单缝衍射

当狭缝宽度与波长相等时，入射平面波将发生明显衍射。此图为计算机模拟的动态衍射图样

此图为狭缝宽度等于波长5倍时，入射平面波的动态衍射图样

激光在圆形小孔处的衍射图样

当狭缝的宽度为入射波波长的4倍时，衍射图样大致为上图所示。可以明显地辨认出中央的主波束部分、波相消的部分以及相位相反波的叠加部分

单缝衍射的光强-偏转角度曲线

红色激光的衍射图样，上方所示的是2条狭缝的情况，下方为5条狭缝的情况

衍射使红色激光发生衍射

波长为633纳米的激光通过一个具有150条狭缝的网格

如果一束光波照射到一个狭长的缝隙时，光束会衍射成一系列圆状光波，并且在狭缝处出现的波前是强度分布不均匀的圆柱形波。

当狭缝宽度比光波的波长更大时，当它穿过狭缝后，将会在狭缝后方发生干涉现象。设想衍射光来自狭缝在其缝间的点大量均匀分布的点光源，这样有助于解释干涉的现象。假设入射光具有单一波长，则可以简化对于该系统的分析。除此之外，如果入射光是单色光（频率相同），那么这些波源具有相同的相位。在狭缝后面的区域中，给定点的衍射光来源于上述所有点光源。如果这些点光源的光的相对相位差以2π或其整数倍分布，就可以分别在其对应位置的衍射光中发现最大加强和最大减弱部分，图样表现为明暗条纹。相位差的产生是由于光从狭缝到达给定点所经过不同路径光程不同的缘故。

通过下面叙述的推理过程，我们可以得到衍射光波中第一个最弱点的衍射角度关系。考虑来自狭缝顶部光源的一束光与来自狭缝中部光源的一束光，当两束光传播光程的差值等于波长的一半λ/2时，二者发生干涉现象，并相互抵消。来自狭缝中部光源的一束光与来自狭缝底部光源的一束光也能产生相似的现象。紧接着，我们可以考虑狭缝间其他位置光源的情况，可以推导结论：一条狭缝不同波源的两束光波干涉相消的条件，与上述波源间距等于狭缝宽度一半的情况相同。光程差可以表示为$\frac{d \sin(\theta)}{2}$，这样，衍射光最小强度位置的偏转角度θ_min满足关系

$d\,\sin\theta_\text{min} = \lambda$

这里

• d为狭缝宽度
• $\theta_\text{min}$为最小强度位置的衍射偏转角度
• $\lambda$为光的波长

另一个论点是：如果我们将狭缝均分为四段、六段、八段，等等，那么光波得到最强减弱的衍射偏转角度θ_n有

$d\,\sin\theta_{n} = n\lambda$

这里

• n是非零整数

然而，并不存在这样简单的公式让我们在衍射图样上找到最大加强点。

此外，可以利用夫琅和费衍射方程来计算光强分布：

这里

• $I(\theta)$为给定角度位置处的光强
• $I_0$原始光强
• Sinc函数的定义为sinc(x) = sin(πx)/(πx) if x ≠ 0, and sinc(0) = 1

上述分析只适用于远场近似，即距离远大于狭缝宽度的情况。

衍射光栅

衍射光栅是具有某种规则几何形状的光学器件。光穿过衍射光栅后形成的图样形状与光栅的结构和数量有关。所有衍射光栅的最大加强角θ_m都满足下列等式

$d \left( \sin{\theta_m} + \sin{\theta_i} \right) = m \lambda.$

这里

• θ_i为光波入射角度
• d为光栅的间距
• m为非零整数

将每一个光栅元素衍射的光求和，即可得到光栅后某点的衍射光，其本质上是衍射与干涉的卷积。

右图显示了2个“狭缝”的光栅和5个“狭缝”光栅元素在具有相同缝间距情况下的衍射图样。可以看出，衍射光加强点的位置相同，但是光斑的精细分布却有所不同。

环状孔隙

File:Airy-pattern.svg

计算机生成的Airy圆斑图样

File:Airy2.gif

此图是一个计算机生产的模拟图样。波长0.6微米的光波（红光）穿过0.5微米圆形孔隙时产生的衍射图样。光屏与圆孔的间距以每次0.1厘米从0.1厘米变化到1厘米。可以看到，图样从菲涅耳区（Fresnel region）移动到了夫琅和费去（Fraunhofer region），并在此处产生Airy圆斑。

平面入射波经环状孔隙的远场衍射图样常被称为Airy圆斑（Airy disk），其衍射强度分布与衍射角度的关系为

$I(\theta) = I_0 \left ( \frac{2 J_1(ka \sin \theta)}{ka \sin \theta} \right )^2$

式中，a为环状孔隙的半径，k为波矢量的大小，等于2π/λ，J₁为贝塞尔函数的第一项。孔隙越小，则给定位置的光斑越大，并且衍射光束偏离原来的传播方向越严重。

一般孔隙的情况

点波源产生的波在空间$\bold r$处的振幅$\psi$是频域波动方程（亥姆霍兹方程）的解

$\nabla^2 \psi + k^2 \psi = \delta(\bold r)$

这里，$\delta(\bold r)$为三维狄拉克δ函数在$\bold r$处的取值。$\delta(\bold r)$只与半径有关，因此球坐标系下的拉普拉斯算符可以根据矢量运算简化为

$\nabla ^2\psi= \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi)$

通过代换，上述方程的解在球坐标系中可以由标量格林函数（并使用时间因子$e^{-i \omega t}$）表示为

$\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}$

这个解的前提是假定δ函数的对称中心位于远点。如果它位于空间其他任意点$\bold r'$处，则空间中场点$\bold r$处的标量格林函数为

$\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' | }}{4 \pi | \bold r - \bold r' |}$

因此，如果一个电磁场E_inc(x,y)是孔隙的入射电磁场，则通过曲面积分可以求得这个孔隙将产生分布的场

$\Psi(r)\propto \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y')~ \frac{e^{ik | \bold r - \bold r'|}}{4 \pi | \bold r - \bold r' |} \,dx'\, dy',$

File:Fraunhofer.svg

夫琅和费远场衍射近似计算的图解

这里，孔隙处的源点用矢量表示为

$\bold{r}' = x' \bold{\hat{x}} + y' \bold{\hat{y}}$

在远场处的格林函数为

$\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' |} }{4 \pi | \bold r - \bold r' |}$

可以引入平行光进行近似计算，则上式可以简化为

$\psi(\bold{r} | \bold{r}') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \bold{r}' \cdot \bold{\hat{r}})}$

右图是上述解法的示意图。

远场的近似表达式变为

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik ( \bold{r}' \cdot \bold{\hat{r}} ) } \, dx' \,dy',$

现在，由于

$\bold{r}' = x' \bold{\hat{x}} + y' \bold{\hat{y}}$

且

$\bold{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi \bold{\hat{x}} + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \bold{\hat{y}} + \cos \theta \bold{\hat{z}}$

则相对孔隙的夫琅和费区的表达式变为

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx'\, dy'$

设

$k_x = k \sin \theta \cos \phi \,\!$

且

$k_y = k \sin \theta \sin \phi \,\!$

则平面孔隙的夫琅和费远场近似表现为傅里叶变换的形式，即

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \,dx'\, dy',$

在远场（夫琅和费区域），这变为了孔隙分布的傅里叶变换。当把惠更斯原理应用在这样的孔隙上，它指出夫琅和费衍射图样是孔隙形状的空间傅里叶变换，而且这是使用平行光近似的直接后果，这对孔隙平面场（aperture plane fields）处平面波的分解较为关键（参见傅里叶光学）。

衍射对于成像的制约

左摄提三在2.56米的望远镜孔径中的幸运成像中，可以明显看到两颗星的Airy圆斑

光学成像系统的成像质量在根本上受到衍射的制约。这是因为，平面入射波在圆形镜片处会发前面叙述的衍射现象，从而造成光路不能够汇聚到一个点，而是形成Airy圆斑。在焦平面上，这个圆斑的半径为：

$d = 1.22 \lambda N,\,$

这里，λ为光的波长，N为光学系统中镜头的焦比（焦距与孔径的相对比值）。对应的角分辨率

$\sin \theta = 1.22 \frac{\lambda}{D},\,$

其中，D为光学镜片的入射光瞳（例如望远镜的主镜片）尺寸。

假设光学系统观察的物体存在两个点波源。当二者相互靠近，则呈现出来二者的像将会慢慢开始重叠，最后甚至会合并组成单一的图样，这样的后果是，在图像上无法分辨出两个独立波源对应的像。这样的例子包括双星的照片。瑞利准则指出，只有当两个像之间的距离大于或等于Airy圆斑的半径时（也就是说，其中一个的最小点遇到了另一个的最大点），对应的两个独立波源的成像才可以被分辨出来。

这样，当镜片孔径越大、波长越短，则光学系统的分辨率越好。这就是望远镜具有大口径镜头的原因。上面的内容也解释了显微镜观察细节的能力受到限制的原因。

参见

• 夫琅和费衍射
• 菲涅耳衍射
• 电子衍射
• 中子衍射
• 布拉格定律
• 衍射光栅
• 折射
• X光散射技术

外部链接

维基共享资源中相关的多媒体资源：

衍射

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Nano-optics

• Diffraction, Ri Channel Video, December 2011
• Diffraction and Crystallography for beginners
• Do Sensors “Outresolve” Lenses?; on lens and sensor resolution interaction.
• Diffraction and acoustics.
• Diffraction in photography.
• On Diffraction at MathPages.
• Diffraction pattern calculators at The Wolfram Demonstrations Project
• Wave Optics – A chapter of an online textbook.
• 2-D wave Java applet – Displays diffraction patterns of various slit configurations.
• Diffraction Java applet – Displays diffraction patterns of various 2-D apertures.
• Diffraction approximations illustrated – MIT site that illustrates the various approximations in diffraction and intuitively explains the Fraunhofer regime from the perspective of linear system theory.
• Gap Obstacle Corner – Java simulation of diffraction of water wave.
• Google Maps – Satellite image of Panama Canal entry ocean wave diffraction.
• Google Maps and Bing Maps - Aerial photo of waves diffracting through sea barriers at Sea Palling in Norfolk, UK.
• Diffraction Effects
• An Introduction to The Wigner Distribution in Geometric Optics
• DoITPoMS Teaching and Learning Package - Diffraction and Imaging
• Animations demonstrating Diffraction by QED