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补集

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集合论和数学的其他分支中,存在补集(台湾叫做差集、中國大陸叫做补集)的两种定义:相对补集绝对补集

相对补集[编辑]

相对补集A - B

AB集合,则AB中的相对补集,是由所有属于B但不属于A的元素組成的集合。

AB中的相对补集通常写作B − A(或B \ A)。

形式上:

B - A = \{ x\in B \, | \, x \not \in A \}

例如:

  • {1,2,3} − {2,3,4}   =   {1}
  • {2,3,4} − {1,2,3}   =   {4}
  • \mathbb{R}实数集合,\mathbb{Q}有理数集合,则 \mathbb{R}-\mathbb{Q}无理数集合。

下列命题给出一些相对补集同并集交集等集合论运算相关的一些常用性质。

命题1:若ABC是集合,则下列等式恒成立:

  • C − (AB) = (CA) ∪(CB)
  • C − (AB) = (CA) ∩(CB)
  • C − (BA) = (AC) ∪(CB)
  • (BA) ∩C = (BC) − A = B ∩(CA)
  • (BA) ∪C = (BC) − (AC)
  • A − A  =  Ø
  • Ø − A  =  Ø
  • A − Ø  =  A

绝对补集[编辑]

绝对补集

若给定全集U,则AU中的相对补集称为A绝对补集(或简称补集),写作AC,即:

AC  =  U − A

(注意:根据ISO与国家标准,A中子集B的补集记作\complement_AB。)

例如,若全集为自然数集合,则奇数集合的补集为偶数集合。

下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。

命题2:若AB是全集U的子集,则下列恒等式成立:

德·摩根律
  • (AB)C  =  ACBC
  • (AB)C  =  ACBC
补集律:
  • AAC   =  U
  • AAC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
回旋律(重补集律):
  • ACC  =  A.
相对补集和绝对补集的关系:
  • A − B = A ∩ BC
  • (A − B)C = AC ∪ B

上述表明,若AU的非空子集,则{A, AC }是U的一个分割

补集的符号[编辑]

补集的符号为“”(Unicode:U+2201)。

参考[编辑]