西爾維斯特數列

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

西爾維斯特數列的定義為s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i。當n=0,由於空積(一個空集內所有元素的積)是1,所以s_0 = 2,之後是3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443...(OEIS:A000058

這亦可以用遞歸定義:s_i = s_{i-1} ( s_{i-1} - 1 ) + 1, s_0 = 2

數學歸納法可證明\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = \frac{s_j-2}{s_j-1}

「求k個埃及分數,使它們之和最接近1而又小於1。」答案就是這數列中首k個數的倒數之和。[1]因此,西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義:每步選取的一個分母,使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor,其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

和為有理數且快速增長的唯一性[编辑]

若有數列 a_n \ge a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1\lim_{k \to \infty} \sum_{i=0}^{k} \frac1{a_i} \in \mathbb{Q},則必存在N使得對於i > Na_n = a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1[1]

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1

質數[编辑]

顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。[2]現時所知的西爾維斯特數中,都是無平方數因數的數,但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[2]

參考[编辑]

編譯自en:Sylvester's sequence

  1. ^ Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.
  2. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0.