角動量算符

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量子力學裏,角動量算符英语angular momentum operator)是一種算符,類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性rotational symmetry)的理論裏,角動量算符佔有中心的角色。角動量,動量,與能量是物體運動的三個基本特性[1]

簡介[编辑]

角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏,如同能量和動量,角動量是守恆的。在量子力學裏,角動量算符的概念是必要的,因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數,而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界,分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為,而不是命定性(deterministic)行為。

數學定義[编辑]

經典力學裏,角動量 \mathbf{L}=(L_x,\ L_y,\ L_z)\,\! 定義為位置 \mathbf{r}=(x,\ y,\ z)\,\! 與動量 \mathbf{p}=(p_x,\ p_y,\ p_z)\,\!叉積

\mathbf{L}\ \stackrel{def}{=}\ \mathbf{r}\times\mathbf{p}\,\!

在量子力學裏,對應的角動量算符 \hat{\mathbf{L}}\,\! 定義為位置算符 \hat{\mathbf{r}}\,\!動量算符 \hat{\mathbf{p}}\,\! 的叉積:

\hat{\mathbf{L}}\ \stackrel{def}{=}\ \hat{\mathbf{r}}\times\hat{\mathbf{p}}\,\!

由於動量算符的形式為

\hat{\mathbf{p}}= - i\hbar\nabla\,\!

角動量算符的形式為

\hat{\mathbf{L}}= - i\hbar(\hat{\mathbf{r}}\times\nabla) \,\!

其中,\nabla\,\!梯度算符。

角動量是厄米算符[编辑]

在量子力學裏,每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量,所以,角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點,思考角動量算符的 x-分量 \hat{L}_x\,\!

\hat{L}_x=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y\,\!

伴隨算符 L_x^{\dagger}\,\!

\hat{L}_x^{\dagger}=(\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y)^{\dagger}=\hat{p}_z^\dagger\hat{y}^{\dagger} - \hat{p}_y^+\hat{z}^{\dagger}\,\!

由於 \hat{y}\,\!\hat{z}\,\!\hat{p}_y\,\!\hat{p}_z\,\! ,都是厄米算符,

\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{p}_z\hat{y} - \hat{p}_y\hat{z}\,\!

由於 \hat{p}_z\,\!\hat{y}\,\! 之間、\hat{p}_y\,\!\hat{z}\,\! 之間分別相互對易,所以,

\hat{L}_x^{\dagger}=\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y=\hat{L}_x\,\!

因此,\hat{L}_x\,\! 是一個厄米算符。類似地,\hat{L}_y\,\!\hat{L}_z\,\! 都是厄米算符。總結,角動量算符是厄米算符。

再思考 \hat{L}^2\,\! 算符,

\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!

伴隨算符 (\hat{L}^2)^{\dagger}\,\!

(\hat{L}^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2)^{\dagger}=(\hat{L}_x^2)^{\dagger}+(\hat{L}_y^2)^{\dagger}+(\hat{L}_z^2)^{\dagger}\,\!

由於 \hat{L}_x^2\,\! 算符、\hat{L}_y^2\,\! 算符、\hat{L}_z^2\,\! 算符,都是厄米算符,

(\hat{L}^2)^{\dagger}=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2=\hat{L}^2\,\!

所以,\hat{L}^2\,\! 算符是厄米算符。

對易關係[编辑]

兩個算符 \hat{A}\,\!\hat{B}\,\!交換算符 [\hat{A},\ \hat{B}]\,\! ,表示出它們之間的對易關係

角動量算符算符與自己的對易關係[编辑]

思考 \hat{L}_x\,\!\hat{L}_y\,\!交換算符

\begin{align} \left.\right.[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y] & = [\hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z] \\
 & =[\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{z}\hat{p}_x] - [\hat{y}\hat{p}_z,\ \hat{x}\hat{p}_z]+[\hat{z}\hat{p}_y,\ \hat{x}\hat{p}_z] \\
 & =i\hbar (\hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x) \\
 & =i\hbar\hat{L}_z \\ \end{align}\,\!

由於兩者的對易關係不等於 0 , L_x\,\!L_y\,\! 彼此是不相容可觀察量\hat{L}_x\,\!\hat{L}_y\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言,\hat{L}_x\,\!本徵態\hat{L}_y\,\! 的本徵態不同。

給予一個量子系統,量子態為 |\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{L}_x\,\! ,所有本徵值為 \ell_{xi}\,\! 的本徵態 |f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ,形成了一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{L}_y\,\! ,所有本徵值為 \ell_{yi}\,\! 的本徵態 |g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ,形成了另外一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合:|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\!

根據哥本哈根詮釋量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若,我們測量可觀察量 L_x\,\! ,得到的測量值為其本徵值 \ell_{xi}\,\! ,則量子態機率塌縮為本徵態 |f_i\rangle\,\! 。假若,我們立刻再測量可觀察量 L_x\,\! ,得到的答案必定是 \ell_{xi}\,\! ,量子態仍舊處於 |f_i\rangle\,\! 。可是,假若,我們改為測量可觀察量 L_y\,\! ,則量子態不會停留於本徵態 |f_i\rangle\,\! ,而會塌縮為 \hat{L}_y\,\! 的本徵態。假若,得到的測量值為其本徵值 \ell_{yj}\,\! ,則量子態機率塌縮為本徵態 |g_j\rangle\,\!

根據不確定性原理

\Delta L_x\ \Delta L_y \ge \left|\frac{\langle[\hat{L}_x,\ \hat{L}_y]\rangle}{2i}\right|=\frac{\hbar |\langle \hat{L}_z\rangle|}{2}\,\!

L_x\,\! 的不確定性與 L_y\,\! 的不確定性的乘積 \Delta L_x\ \Delta L_y \,\! ,必定大於或等於 \frac{\hbar |\langle L_z\rangle|}{2}\,\!

L_x\,\!L_z\,\! 之間,L_y\,\!L_z\,\! 之間,也有類似的特性。

角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係[编辑]

思考 \hat{L}^2\,\!\hat{L}_z\,\! 的交換算符,

\begin{align}\left.\right.[\hat{L}^2,\ \hat{L}_z] & = [\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2,\ \hat{L}_z] \\
 & = \hat{L}_x\hat{L}_x\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_x\hat{L}_x+\hat{L}_y\hat{L}_y\hat{L}_z - \hat{L}_z\hat{L}_y\hat{L}_y \\
 & = \hat{L}_x(\hat{L}_z\hat{L}_x - i\hbar\hat{L}_y) - (\hat{L}_x\hat{L}_z+i\hbar\hat{L}_y)\hat{L}_x+\hat{L}_y(\hat{L}_z\hat{L}_y+i\hbar\hat{L}_x) - (\hat{L}_y\hat{L}_z - i\hbar\hat{L}_x)\hat{L}_y \\
 & = 0  \\ \end{align}\,\!

\hat{L}^2 \,\!\hat{L}_z\,\!對易的L^2 \,\!L_z\,\! 彼此是相容可觀察量,兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 L^2 \,\!L_z\,\! 的本徵值。

類似地,

[\hat{L}^2,\ \hat{L}_x] =0\,\!
[\hat{L}^2,\ \hat{L}_y] =0\,\!

\hat{L}^2\,\!\hat{L}_x\,\! 之間、\hat{L}^2\,\!\hat{L}_y\,\! 之間,都分別擁有類似的物理特性。

哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係[编辑]

思考哈密頓算符 \hat{H}\,\!\hat{L}_z\,\! 的交換算符,

[\hat{H},\ \hat{L}_z]=\left[i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\ \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x\right]=0\,\!

\hat{H}\,\!\hat{L}_z\,\!對易的H\,\!L_z\,\! 彼此是相容可觀察量,兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理,我們可以同時地測量到 H\,\!L_z\,\! 的同樣的本徵值。

類似地,

[\hat{H},\ \hat{L}_x] =0\,\!
[\hat{H},\ \hat{L}_y] =0\,\!

\hat{H}\,\!\hat{L}_x\,\! 之間,\hat{H}\,\!\hat{L}_y\,\! 之間,都分別擁有類似的物理特性。

在經典力學裏的對易關係[编辑]

在經典力學裏,角動量算符也遵守類似的對易關係:

\{L_i,\ L_j\}=\epsilon_{ijk}L_k\,\!

其中,\{\ ,\ \}\,\!帕松括號\epsilon_{ijk}\,\!列維-奇維塔符號i\,\!j\,\!k\,\! ,代表直角坐標 (x,\ y,\ z)\,\!

本徵值與本徵函數[编辑]

採用球坐標。展開角動量算符的方程式:

\begin{align}\hat{\mathbf{L}}
 & = \frac{\hbar}{i}\hat{\mathbf{r}}\times\nabla \\
 & = \frac{\hbar}{i} r\mathbf{e}_r \times \left(\mathbf{e}_r \frac{\partial}{\partial r}+\mathbf{e}_{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+
\mathbf{e}_{\phi} \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\
 & = \frac{\hbar}{i}\left( - \mathbf{e}_{\theta}\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \phi} +\mathbf{e}_{\phi}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\ \end{align}
\,\!

其中,\mathbf{e}_r\,\!\mathbf{e}_\theta\,\!\mathbf{e}_\phi\,\! ,分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。

轉換回直角坐標

\hat{\mathbf{L}}=\frac{\hbar}{i}\left[
\mathbf{e}_x \left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_y\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)
+\mathbf{e}_z\frac{\partial}{\partial \phi}\right]
\,\!

其中,\mathbf{e}_x\,\!\mathbf{e}_y\,\!\mathbf{e}_z\,\! ,分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。

所以,\hat{L}_x\,\!\hat{L}_y\,\!\hat{L}_z\,\! 分別是

\hat{L}_x=\frac{\hbar}{i}\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!
\hat{L}_y=\frac{\hbar}{i}\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\,\!
\hat{L}_z=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial \phi}\,\!

角動量平方算符是

\hat{L}^2=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2\,\!

其中,

\begin{align}\hat{L}_x^2
 & = - \hbar^2\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left( - \sin \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
 & = - \hbar^2\left(\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\cos^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ 
\end{align}\,\!
\left.+\cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi} - \cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!
\begin{align}\hat{L}_y^2
 & = - \hbar^2\left(\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right)\left(\cos \phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \\
 & = - \hbar^2\left(\cos^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\sin^2\phi\frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\csc^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}\right. \\ 
\end{align}\,\!
\left. - \cot\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \phi}+\cot^2\theta\sin\phi\cos\phi\frac{\partial}{\partial \phi}+\cot^2\theta\sin^2\phi\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!
\hat{L}_z^2= - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\,\!

經過一番繁雜的運算,終於得到想要的方程式

\hat{L}^2= - \hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\cot\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+(1+\cot^2\theta)\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)
= - \hbar^2\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)\,\!

滿足算符 \hat{L}^2\,\!本徵函數球諧函數 Y_{\ell m}\,\!

\hat{L}^2 Y_{\ell m}= - \ell(\ell+1)\hbar^2 Y_{\ell m}\,\!

其中,本徵值 \ell\,\! 是正整數。

球諧函數也是滿足算符 \hat{L}_z\,\! 微分方程式的本徵函數:

\hat{L}_z Y_{\ell m}= m\hbar Y_{\ell m}\,\!

其中,本徵值 m\,\! 是整數, - \ell \le m \le 0\,\!

因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ,它們可以有共同的本徵函數。

球諧函數 Y_{\ell m}\,\! 表達為

 Y_{\ell m}(\theta,\ \phi) =(i)^{m+|m|} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell - m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_{\ell m} (\cos{\theta}) \, e^{im\phi}\,\!

其中,i\,\!虛數單位P_{\ell m}(\cos{\theta})\,\!伴隨勒讓德多項式,用方程式定義為

P_{\ell m}(x) = (1 - x^2)^{|m|/2}\ \frac{d^{|m|}}{dx^{|m|}}P_\ell(x)\,

P_\ell(x)\,\!\ell勒讓德多項式,可用羅德里格公式表示為:

P_\ell(x) = {1 \over 2^\ell \ell!} {d^\ell \over dx^\ell }(x^2 - 1)^\ell

球諧函數滿足正交歸一性

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell_1 m_1}Y_{\ell_2 m_2}\sin(\theta)d\theta d\phi=\delta_{\ell_1 \ell_2}\delta_{m_1m_2}\,\!

這樣,角動量算符的本徵函數,形成一組單範正交基。任意波函數 \psi(\theta,\,\phi)\,\! 都可以表達為這單範正交基的線性組合

\psi(\theta,\,\phi)=\sum_{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta,\,\phi)\,\!

其中,A_{\ell m}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\ Y_{\ell m}^*(\theta,\,\phi)\psi(\theta,\,\phi)\sin(\theta)d\theta d\phi \,\!

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155

外部連結[编辑]

  • 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學:角動量加法