角平分線定理

图中：BD:DC = AB:AC

角平分線定理（Angle bisector theorem），或稱內分比，是一個幾何學的定理，在三角形ABC中，由A點作一角平分線與BC交於D，那

AB:AC = BD:DC

證明

已知 射線$\overrightarrow{AD}$ 為 $\triangle$ABC 的角平分線，且 射線$\overrightarrow{AD}$ 交 BC線段 於D點，試證：$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BD}{DC}$

• 面積法

根據角平分線定義，知$\angle$BAD = $\angle$DAC ；過頂點A，作BC邊上的高AH

三角形ABD面積 = $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$*BD*AH = $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$*AB*AD*$\sin\angle$BAD

三角形ADC面積 = $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$*DC*AH = $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$*AC*AD*$\sin\angle$DAC

上兩式相除，可得$\frac{{\triangle ABD}}{{\triangle ADC}}$ = $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$

故　$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BD}{DC}$　得證。

(以上證明法有嚴重錯誤請高手幫忙更正,因為當$\angle$ADC >90度,三角形ADC面積 絕對不會等於 $\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix}$*DC*AH ,但小弟我不會程式語言,無法進行更正,可以用以下這點 來證明: 角平分線上任一點 到AB和BC之最短距離會相等)

參見

• 角平分線長公式
• 外角平分線定理