解析函数

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數學中,解析函數是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數複解析函數,兩者有類似之處,同時也有重要的差異。此外在超度量域上也可以定義解析函數,這套想法在當代數論算術代數幾何中有重要應用。

解析函數集有時也寫作 C^\omega

定義[编辑]

形式地說,一個定義於實數線內的開集,其映射的值也在實數線上時(用符號表示這句話就是,若開集D \subset \mathbb{R} ,且函數 f: D \rightarrow \mathbb{R} 時),此映射被稱作(實)函數,若對任何 x_0 \in D 都存在 x_0D 中的開鄰域,使得 f 在其內可表為下述收斂冪級數,則此(實)函數即可稱為(實)解析函數

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots

其中係數 a_i 皆為實數。複解析函數的定義類此,僅須將上式的中的實數線換作複平面,並將實數換作複數即可。

實解析函數也可以定義為在定義域 D 內每一點 x_0泰勒級數皆收斂的光滑函數 f,即:


T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

|x-x_0| 夠小時收斂到 f(x)

例子[编辑]

以上兩例皆可藉泰勒級數的收歛性證明

  • 絕對值函數非解析函數,因為它在零點不可微。
  • 複共軛函數非複解析函數,但是它在實數線上的限制(即恆等映射)是解析函數。

基本性質[编辑]

  • 凡解析函數皆屬光滑函數
  • 解析函數的和、積與合成仍是解析函數(惟合成時須留意定義域的問題)。
  • 若解析函數在一個開集上非零,則它在該開集上的倒數仍為解析函數。

事實上,假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 B(0, r) := \{ x : |x| < r \} 上表為冪級數,則上述運算可以形式地操作:

 \sum_{i \geq 0} a_i x^i + \sum_{i \geq 0} b_i x^i = \sum_{i \geq 0} (a_i+b_i) x^i
 \sum_{i \geq 0} a_i x^i \cdot \sum_j b_j x^j = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) x^k
 f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i, g(x) = \sum_{i > 0} b_i x^i
 \Rightarrow (f \circ g)(x) = \sum_{i \geq 0} (\sum_{j>0} b_j x^j)^i (定義域可能會縮小)
 f(x) = 1 - \sum_{i>0} a_i x^i \Rightarrow \dfrac{1}{f(x)} = \sum_{j \geq 0}  (\sum_{i>0} a_i x^i)^j

其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。

一個多項式的零點數不大於它的次數,解析函數的零點也有類似的限制:若一解析函數的零點集在定義域內有極限點,則函數在含該點的連通成份上恆為零。此外,若解析函數在一點的各階導數皆為零,則該函數在含該點的連通成份上為常數函數。

這些性質表明:即使解析函數較多項式來的廣,它仍是一個具相當「剛性」的數學對象。

解析與可微[编辑]

本段中提到的光滑卻非解析的函數

如上所述,實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微(記作光滑函數,或 C^\infty)。但是存在光滑卻非解析的函數,典型的例子是

f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} &  x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}

可證明它是光滑的,且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點,故非解析。

複解析函數則不同:凡複解析函數必為全純函數(即複可導,以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程),反之亦然,因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。

實解析函數與複解析函數[编辑]

實解析與複解析函數有些重要差異,一般而言複解析函數更具剛性。

依據劉維爾定理,定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立,例如:

f(x)=\frac{1}{x^2+1}.

此外,若一個複解析函數在一個以 x_0 為中心的開圓盤內有定義,則在 x_0 的冪級數展式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。

給定實數線上一個區間 I 內的實解析函數 f,則 f 能延拓為複平面上一開集 U \supset I 內的複解析函數。然而定義在整個 \mathbb{R} 上的實解析函數不一定能延拓到整個 \mathbb{C},如前例之 f

超度量域上的解析函數[编辑]

冪級數可以定義在任意域上,取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 \mathbb{R}\mathbb{C};在數論上也考慮超度量域,如 p進數\mathbb{Q}_p\mathbb{C}_p := \widehat{\bar{\mathbb{Q}}_p}

由於超度量域滿足強三角不等式  |x+y| \leq \mathrm{max}(|x|,|y|),遂具備許多獨特性質,例如 \sum_i a_i 收斂若且唯若 \lim_{i \to \infty} a_i = 0。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀,技術上卻往往簡單得多。

多元解析函數[编辑]

利用多元冪級數,可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如

s(x) := \sum_I a_I (x-a)^I

的函數,其中 x, a 皆為向量,而 I 代表多重指标

二維以上的解析函數有一些有趣的新性質,複解析函數的情形尤其特出。

外部連結[编辑]

文獻[编辑]

  • Conway, John B. Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3.