解析函数

在數學中，解析函數是局部上由收斂冪級數給出的函數。解析函數可分成實解析函數與複解析函數，兩者有類似之處，同時也有重要的差異。此外在超度量域上也可以定義解析函數，這套想法在當代數論與算術代數幾何中有重要應用。

解析函數集有時也寫作 $C^\omega$。

定義

形式地說，一個定義於實數線內開集 $D \subset \mathbb{R}$ 上的函數 $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ 被稱作（實）解析函數，若對任何 $x_0 \in D$ 都存在 $x_0$ 在 $D$ 中的開鄰域，使得 $f$ 在其內表為下述收斂冪級數：

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-x_0 \right)^n = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots$

其中係數 $a_i$ 皆為實數。複解析函數的定義類此，僅須將上式的中的實數線換作複平面，並將實數換作複數即可。

實解析函數也可以定義為在定義域 $D$ 內每一點 $x_0$ 的泰勒級數皆收斂的光滑函數 $f$，即：

$T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}$

在 $|x-x_0|$ 夠小時收斂到 $f(x)$。

例子

• 任何多項式（實或複）皆是解析函數。
• 指數函數是解析函數。
• 三角函數是解析函數。

以上兩例皆可藉泰勒級數的收歛性證明

• 絕對值函數非解析函數，因為它在零點不可微。
• 複共軛函數非複解析函數，但是它在實數線上的限制（即恆等映射）是解析函數。

基本性質

• 凡解析函數皆屬光滑函數。
• 解析函數的和、積與合成仍是解析函數（惟合成時須留意定義域的問題）。
• 若解析函數在一個開集上非零，則它在該開集上的倒數仍為解析函數。

事實上，假設所論解析函數皆可在原點附近一開集 $B(0, r) := \{ x : |x| < r \}$ 上表為冪級數，則上述運算可以形式地操作：

$\sum_{i \geq 0} a_i x^i + \sum_{i \geq 0} b_i x^i = \sum_{i \geq 0} (a_i+b_i) x^i$

$\sum_{i \geq 0} a_i x^i \cdot \sum_j b_j x^j = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i+j=k} a_i b_j) x^k$

$f(x) = \sum_{i \geq 0} a_i x^i, g(x) = \sum_{i > 0} b_i x^i$

$\Rightarrow (f \circ g)(x) = \sum_{i \geq 0} (\sum_{j>0} b_j x^j)^i$（定義域可能會縮小）

$f(x) = 1 - \sum_{i>0} a_i x^i \Rightarrow \dfrac{1}{f(x)} = \sum_{j \geq 0} (\sum_{i>0} a_i x^i)^j$

其中每個運算結果的係數都可以寫成有限的代數式。

一個多項式的零點數不大於它的次數，解析函數的零點也有類似的限制：若一解析函數的零點集在定義域內有極限點，則函數在含該點的連通成份上恆為零。此外，若解析函數在一點的各階導數皆為零，則該函數在含該點的連通成份上為常數函數。

這些性質表明：即使解析函數較多項式來的廣，它仍是一個具相當「剛性」的數學對象。

解析與可微

本段中提到的光滑卻非解析的函數

如上所述，實或複解析函數均在實變數的意義上無窮可微（記作光滑函數，或 $C^\infty$）。但是存在光滑卻非解析的函數，典型的例子是

$f(x) := \begin{cases}e^{-\frac{1}{x}} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$

可證明它是光滑的，且在原點的任意開鄰域內都有無窮多個零點，故非解析。

複解析函數則不同：凡複解析函數必為全純函數（即複可導，以實變數表示則是滿足柯西-黎曼方程），反之亦然，因此全純函數與解析函數在複分析中是同一類對象。

實解析函數與複解析函數

實解析與複解析函數有些重要差異，一般而言複解析函數更具剛性。

依據劉維爾定理，定義在整個複平面上的有界解析函數必為常數。此結論對實解析函數不成立，例如：

$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$

此外，若一個複解析函數在一個以 $x_0$ 為中心的開圓盤內有定義，則在 $x_0$ 的冪級數展式在該開圓盤內收斂。對實解析函數則不然。

給定實數線上一個區間 $I$ 內的實解析函數 $f$，則 $f$ 能延拓為複平面上一開集 $U \supset I$ 內的複解析函數。然而定義在整個 $\mathbb{R}$ 上的實解析函數不一定能延拓到整個 $\mathbb{C}$，如前例之 $f$。

超度量域上的解析函數

冪級數可以定義在任意域上，取帶有絕對值的域則能探討收歛性。實解析函數與複解析函數分別對應到 $\mathbb{R}$ 與 $\mathbb{C}$；在數論上也考慮超度量域，如 p進數域 $\mathbb{Q}_p$ 或 $\mathbb{C}_p := \widehat{\bar{\mathbb{Q}}_p}$。

由於超度量域滿足強三角不等式 $|x+y| \leq \mathrm{max}(|x|,|y|)$，遂具備許多獨特性質，例如 $\sum_i a_i$ 收斂若且唯若 $\lim_{i \to \infty} a_i = 0$。雖然超度量分析缺乏實數或複數上的直觀，技術上卻往往簡單得多。

多元解析函數

利用多元冪級數，可將解析函數的定義直接推廣到多變元的情形。它們是局部上形如

$s(x) := \sum_I a_I (x-a)^I$

的函數，其中 $x, a$ 皆為向量，而 $I$ 代表多重指标。

二維以上的解析函數有一些有趣的新性質，複解析函數的情形尤其特出。

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因, Analytic Function at MathWorld
• Analytic Functions Module by John H. Mathews

文獻

• Conway, John B. Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. 1978. ISBN 0-387-90328-3.